第二章 2.2.4 第1课时 均值不等式（word）-2019-2020学年高中新教材数学第一册【步步高】学案导学与随堂笔记（人教B版）

2.2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 学习目标　1.掌握数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式.2.掌握均值不等式的推导过程.3.能熟练运用均值不等式比较两实数的大小.4.能初步运用均值不等式证明不等式和求最值． 知识点一　数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式 一般地，在数轴上，如果A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，如果M是AB的中点，则M. 知识点二　均值不等式 1．给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值，数称为a，b的几何平均值． 2．如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 3．几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大． 1．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.(　√　) 2．当n∈N＋时，n＋>2.(　√　) 3．当x≠0时，x＋≥2.(　×　) 4．若a>0，则a3＋的最小值为2.(　×　) 一、利用均值不等式比较大小 例1　某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　　) A．x＝ B．x≤ C．x> D．x≥ 答案　B 解析　第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)， 第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b)． 若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2. 依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∵a>0，b>0，x>0， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2， ∴1＋x≤＝1＋，∴x≤. 反思感悟　均值不等式≥一端为和，一端为积，使用均值不等式比较大小要善于利用这个桥梁化和为积或者化积为和． 跟踪训练1　若0<a<1,0<b<1，且a≠b，试找出a＋b，a2＋b2，2，2ab中的最大者． 解　∵0<a<1,0<b<1，且a≠b， ∴a＋b>2，a2＋b2>2ab， ∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择． 而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)， ∵0<a<1,0<b<1， ∴a(a－1)<0，b(b－1)<0，∴a2＋b2－(a＋b)<0，[来源:Z|xx|k.Com] 即a2＋b2<a＋b，∴a＋b最大． 二、利用均值不等式求最值 例2　(1)当x>0时，求＋4x的最小值； (2)当x<0时，求＋4x的最大值； (3)当x>1时，求2x＋的最小值； (4)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值． 解　(1)∵x>0，∴>0,4x>0. ∴＋4x≥2＝8. 当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8， ∴当x>0时，＋4x的最小值为8. (2)∵x<0，∴－x>0. 则＋(－4x)≥2＝8，[来源:学.科.网Z.X.X.K] 当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号． ∴＋4x≤－8. ∴当x<0时，＋4x的最大值为－8. (3)2x＋＝2＋2，∵x>1，∴x－1>0， ∴2x＋≥2×2＋2＝10， 当且仅当x－1＝，即x＝3时，取等号． (4)∵x>0，a>0，∴4x＋≥2＝4， 当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号，∴a＝36. 反思感悟　在利用均值不等式求最值时要注意三点： 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备． 跟踪训练2　已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 答案　B 解析　因为x>0，y>0，且x＋y＝8， 所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2＝9＋42＝25， 当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25. 三、用均值不等式证明不等式 例3　已知a，b，c都是正数，求证：a＋b＋c－－－≥0. 证明　∵a，b，c都是正数， ∴a＋b≥2，b＋c≥2，a＋c≥2， ∴a＋b＋b＋c＋a＋c≥2(＋＋)， ∴a＋b＋c≥＋＋， 即a＋b＋c－－－≥0. (当且仅当a＝b＝c时，等号成立) 反思感悟　利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用． 跟踪训练3　已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc. 证明　∵a，b，c都是正实数， ∴a＋b