第二章 2.2.4 第2课时 均值不等式的综合应用（word）-2019-2020学年高中新教材数学第一册【步步高】学案导学与随堂笔记（人教B版）

第2课时　均值不等式的综合应用 学习目标　1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题． 知识点　用均值不等式求最值 用均值不等式≥求最值应注意： (1)x，y是正数； (2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 1．若x，y是正数，且＋＝1，则xy有(　　) A．最小值16 B．最小值 C．最大值16 D．最小值 答案　A 解析　∵x>0，y>0， ∴1＝＋≥2＝4， 当且仅当4x＝y＝8时取等号， ∴≥，即xy≥16， ∴xy有最小值16.故选A. 2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________. 答案　20 解析　总运费与总存储费用之和 y＝4x＋×4＝4x＋≥2 ＝160， 当且仅当4x＝， 即x＝20时取等号． 3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则该公司每台机器年平均利润的最大值是________万元． 答案　8 解析　年平均利润＝－x＋18－＝－＋18≤－2 ＋18＝－10＋18＝8，当且仅当x＝5时取“＝”． 4．已知x>2，则x＋的最小值为________． 答案　6 解析　x＋＝x－2＋＋2， ∵x－2>0，∴x－2＋＋2≥2＋2＝4＋2＝6. 当且仅当x－2＝2，即x＝4时取“＝”． 一、利用均值不等式变形求最值 例1　已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值． 解　方法一　∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10 ≥6＋10＝16， 当且仅当＝， 又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号． 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 方法二　由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)． 由＋＝1可知x>1，y>9， ∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10 ≥2＋10＝16， 当且仅当x－1＝y－9＝3， 即x＝4，y＝12时上式取等号， 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 反思感悟　应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用均值不等式及使等号成立的条件．当连续应用均值不等式时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换． 跟踪训练1　已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________． 答案　9 解析　∵x＋y＝1， ∴＋＝(x＋y) ＝1＋4＋＋. ∵x>0，y>0，∴>0，>0， ∴＋≥2＝4， ∴5＋＋≥9. 当且仅当即x＝，y＝时等号成立． ∴min＝9. 二、均值不等式在实际问题中的应用 例2　“足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q＝(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为元/件． 那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费) 解　设该批产品的利润为y， 由题意知y＝·Q－2－x ＝2Q＋20－2Q－－x＝20－－x ＝20－－x＝21－，0≤x≤3. ∵21－≤21－2＝17， 当且仅当x＝1时，上式取“＝”， ∴当x＝1时，ymax＝17. 答　当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元． 反思感悟　应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用均值不等式求最值，要注意验证等号是否成立． 跟踪训练2　2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．消耗A材料总重量为y，那么要使生产1 000千克该产品消耗A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少． 解　由题意