2013年高考理科数学真题(全国新课标Ⅰ卷)-十年高考全国高考真题汇编理科数学

2013年普通高等学校招生全国统一考试 全 国 卷(新课标Ⅰ 理科) 参考答案 1.答案:B 2.答案:D 3.答案:C 4.答案:C 5.答案:A 6.答案:A 7.答案:C 8.答案:A 9.答案:B 10.答案:D 11.答案:D 12.答案:B 13.答案:2 14.答案:(-2)n-1 15.答案:- 25 5 16.答案:16 17.解:(1)由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°. 在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+ 1 4-2× 3× 1 2cos 30°= 7 4 ,故PA= 7 2. (2)设∠PBA=α,由已知得PB=sin α. 在△PBA中,由正弦定理得 3 sin 150°= sin α sin(30°-α) ,化 简得 3cos α=4sin α,所以tan α= 3 4 ,即tan∠PBA= 3 4. 第18题图(1) 18.(1)证明:如图(1),取 AB的中点 O,连接OC,OA1,A1B. 因为CA=CB,所以OC⊥AB. 由于AB=AA1,∠BAA1=60°, 故△AA1B为等边三角形, 所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C. 又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C. 第18题图(2) (2)解:由 (1)知 OC⊥AB, OA1⊥AB, 又平面ABC⊥平面AA1B1B,交 线 为 AB,所 以 OC ⊥ 平 面 AA1B1B,故 OA,OA1,OC两两 相互垂直. 以O为坐标原点,OA→ 的方向为x轴的正方向,|OA→| 为单位长,建立如图(2)所示的空间直角坐标系O-xyz. 由题设知A(1,0,0),A1(0,3,0),C(0,0,3),B(- 1,0,0), 则BC→=(1,0,3),BB1 →=AA1 →=(-1,3,0),A1C →= (0,- 3,3). 设n=(x,y,z)是平面BB1C1C 的法向量, 则 n·BC→=0, n·BB1 →=0, 即 x+ 3z=0,-x+ 3y=0. 可取n=(3,1,- 1), 故cos<n,A1C →>= n·A1C → |n||A1C →| =- 10 5 . 所以A1C 与平面BB1C1C 所成角的正弦值为 10 5 . 19.解:(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为 事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件 A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第 二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通 过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且 A1B1 与A2B2 互斥,所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+ P(A2)P(B2|A2)= 4 16× 1 16+ 1 16× 1 2= 3 64. (2)X 可能的取值为400,500,800,并且P(X=400)= 1- 4 16- 1 16= 11 16 ,P(X=500)= 1 16 ,P(X=800)= 1 4 , 所以X 的分布列为 X 400 500 800 P 1116 1 16 1 4 EX=400× 11 16+500× 1 16+800× 1 4=506.25. 20.解:由已知得圆M 的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆 ·1· N 的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P 的圆心为P (x,y),半径为R. (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左,右焦点,长 半轴长为2,短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外),其方 程为 x2 4+ y2 3=1 (x≠-2). (2)对于曲线C 上任意一点P(x,y),由于|PM|-| PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P 的圆心为 (2,0)时,R=2,所以当圆P 的半径最长时,其方程为 (x-2)2+y2=4. 若l的倾斜角为90°,则l与y 轴重合,可得|AB|=2 3. 若l的倾斜角不为90°,由r1≠R 知l不平行于x 轴,设 l与x 轴的交点为Q,则 |QP| |QM|= R r1 ,可求得Q(-4,0), 所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M 相切得 |3k| 1+k2 =1,解得k=± 2 4. 当k= 2 4 时,将y= 2 4x+ 2 代入 x2 4+ y2 3=1 ,并整理 得7x2+8x-8=0,解得x1,2= -4±62 7 ,所以|AB| = 1+k2|x2-x1|= 18 7. 当k=- 2 4 时,由图形的对称性可知|AB|= 18 7. 综上,|AB|=23或|AB|= 18 7. 21.解:(1