高中数学人教B版选修2-2第一章 1.4.2 微积分基本定理(共17张PPT)

微积分基本定理 普通高中课程标准实验教科书——选修2-2 公元3世纪诞生的刘徽著名的“割圆术”： 定积分的定义： 1、定义法 复习回顾 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴 所围成的曲边梯形的面积. 2、几何意义 复习回顾 有没有更好的方法求定积分？ O x y a b yf (x) S 如果总是用定义来求定积分，那将非常麻烦，有时甚至无法计算。而求导数比求定积分容易得多。17世纪，牛顿和莱布尼茨找到两者之间的关系。 我们还是从爬山说起。 如图，把地平面取作横坐标轴，y=F(x)是爬山路线，并假定曲线y=F(x)与x轴在同一平面内，A是出发点,点B为山顶。 课堂探究 y = F ( x ) h x k + 1 x k O y x H E B A b a 我们来分析每一小段所爬高度与这一小段所在直线的斜率的关系。 不妨以[xk，xk+1]为例，EF是曲线过点E的切线，其斜率为F ’(xi),于是GF=F ’(xK)△x。在此段所爬高度hk为GH，GH=F(xk+1)－F(xk)。当△x很小时(即n很大)hk=GH≈GF. 课堂探究 将区间[a，b]n等分，记△x= 在爬山路线的每一点(x，F(x))，山坡的斜率为F ’(x)。 即F(xk+1)－F(xk)≈F ’(xk)△x. 这样，我们得到了一系列近似等式： h1=F(a+△x)－F(a) ≈F ’(a)△x， h2=F(a+2△x)－F(a+△x)≈F’(a+△x)△x, h3=F(a+3△x)－F(a+2△x)≈F’(a+2△x)△x, ………… hn－1=F[a+(n－1)△x]－[(a+(n－2)△x) ≈F ’[a+(n－2))△x]△x， hn=F(b)－F[a+(n－1)△x) ≈F ’[a+(n－1)△x]△x， 课堂探究 将上列n个近似等式相加，得到从A到B所爬的总高度 h=h1+h2+……+hn=F(b)－F(a) 由定积分定义可知：当△x→0时， 这一公式告诉我们：F ’(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之差 课堂探究 微积分基本定理 如果F ’(x)=f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则 其中F(x)叫做f(x)的一个原函数。 牛