1.4.1 单位圆与周期性-一课一讲一练·2019-2020学年高一数学必修4（北师大版）

§4　正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4．2　单位圆与周期性 1、 新知梳理 1．任意角的正弦、余弦函数的定义 如图所示，在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin__α；点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos__α． 对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数． 在给定的单位圆中，对于任意角α可以是正角、负角或是零角，所以，正弦函数v＝sin α，余弦函数u＝cos α的定义域为全体实数． 2．正弦函数、余弦函数在各象限的符号 　　　象限 三角函数　　 第一 象限 第二 象限 第三 象限 第四 象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ [注意]　按正值简记为：正弦一、二象限全为正；余弦偏在一、四中． 3．终边相同的角的正、余弦函数 (1)公式：sin(x＋2kπ)＝sin__x，k∈Z； cos(x＋2kπ)＝cos__x，k∈Z. (2)意义：终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别相等． 4．周期函数 (1)定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期． (2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的最小正周期均是2π． 二、疑难指津 1．对正弦函数、余弦函数定义的理解 (1)定义中，α是一个任意角，同时它也可以是一个实数(弧度数)． (2)角α的终边与单位圆O交于点P(u，v)，实际上给出了两个对应关系，即 实数α(弧度)对应于点P的纵坐标v正弦 实数α(弧度)对应于点P的横坐标u余弦 (3)三角函数可以看成以实数为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数．角与实数是一对一的．角和实数与三角函数值之间是多对一的，如图所示． (4)sin α是一个整体，不是sin与α的乘积，单独的“sin”“cos”是没有意义的． 2．正弦函数、余弦函数定义的拓展 上面利用单位圆，给出了任意角的正弦、余弦函数的定义