2.3.1 数乘向量-一课一讲一练·2019-2020学年高一数学必修4（北师大版）

§3　从速度的倍数到数乘向量 3.1　数乘向量 一、新知梳理 　　　 1.数乘向量 （1）一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度为|λa|＝|λ||a|，它的方向：当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0，方向任意. （2）几何意义 λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长（|λ|>1）或缩短（|λ|<1）为原来的|λ|倍. （3）运算律 设a，b为向量，λ，μ为实数. ①λ（μ a）＝（λμ）a； ②（λ＋μ）a＝λa＋μa； ③λ（a＋b）＝λa＋λb； ④特别地（－λ）a＝－（λa）； λ（a－b）＝λa－λb. （4）线性运算 向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常叫作向量的线性运算（或线性组合）. （5）表示a方向上的单位向量. 2.向量共线定理 判定 定理 a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线 性质 定理 若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa 二、疑难指津 1.从两个角度看数乘向量 （1）代数角度 ①λ是实数，a是向量，它们的积仍然是向量； ②λa＝0的条件是λ＝0或a＝0. （2）几何角度 ①当|λ|＞1时，有|λa|＞|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向（λ＞1）或反方向（λ＜－1）上伸长到|a|的|λ|倍； ②当0＜|λ|＜1时，有|λa|＜|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向（0＜λ＜1）或反方向（－1＜λ＜0）上缩短到|a|的|λ|倍. 2.对数乘向量的运算律的两点说明 （1）数乘向量运算律满足的条件：三种运算律中的λ与μ都是实数. （2）对运算律λ（a＋b）＝λa＋λb的几点说明 ①当a，b中有一个等于0，或λ＝0或1时，等式显然成立； ②若a，b都不等于0且λ≠1，λ≠0， 当λ＞0且λ≠1时，如图， ＝λb， ＝λa，＝b，＝a， ＝λa＋λb， ＝a＋b， 由作法知， ∥ 所以||， |＝λ| 所以||， |＝λ| 且方向也相同， 与 故有λ（a＋b）＝λa＋λb成立. 当λ＜0时，同理可证. 综上，λ（a＋b）＝λa＋λb成立. 3.正确理解向量共线的判定定理和性质定理 （1）向量共线的判定定理和性质定理实际上是由实数与向量的积推出的.两个定