2.3.2 平面向量基本定理-一课一讲一练·2019-2020学年高一数学必修4（北师大版）

3.2　平面向量基本定理 一、新知梳理 1.平面向量基本定理 （1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. （2）基底：我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.三点共线的充要条件 平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数α、β，使得.其中α＋β＝1，O为平面内任意一点. ＋β＝α 二、疑难指津 1.定理的实质 平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任意向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式. 2.分解的唯一性 平面向量基本定理中，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的. 3.体现的数学思想 平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择恰当的基底，将问题涉及的向量用基底化归，使问题得以解决. 三、对点练习 1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.（　　） （2）若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2（λ1，λ2为实数）可以表示该平面内所有向量.（　　） （3）若ae1＋be2＝ce1＋de2（a，b，c，d∈R），则a＝c，b＝d.（　　） 解析：（1）错误.根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底. （2）正确.根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1，e2线性表示. （3）错误.当e1与e2共线时，结论不一定成立. 答案：（1）×　（2）√　（3）× 2.设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是（　　） A.e1，e2 B.e1＋e2，3e1＋3e2 C.e1，5e2 D.e1，e1＋e2 答案：B 3.已知向量a与b是一组基底，实数x，y满足（3x－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，则x－y＝　　　　Ｗ. 解析：由原式可得解得 所以x－y＝3. 答案：3 4.已知向量a与b不共线，且＝3a－b，则共线的三点为　　　　. ＝－a＋9b，＝a＋4b， 解析：，所以A，B，D三点共线. ＝＝a＋4b，所以＝－a＋9b＋3a－b＝2a＋8b，因为＋＝ 答