浙江省宁波市余姚中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题（ PDF版）

余姚中学 2019 学年第二学期期中考高二数学试卷 出卷 茅建未 审卷 徐鹏科 一、选择题 1-10 B C D C A A D B D A 二、填空题 11. 2 ; -2 。12._-20 , 0 。 12. _ 10_, _ 5 , 3 14. 16 ; 81 ． 15 2940 , 16. 120 17. 三．解答题 18.（本小题 14 分） 解 (1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想 an＝2n＋1. (2)下面用数学归纳法证明 an＝2n＋1. ①当 n=1 时，a1＝3=2*1＋1.等式成立 ②假设 n=k 时，等式也成立，即 ak＝2k＋1. 则 n=k+1 时 ak＋1＝ak 2－2kak＋2=(2k+1) 2－2k*(－2k+1)=2(k+1)＋1. 即 n=k+1 时也成立 由①②知等式 an＝2n＋1 成立 19. （本小题 15 分） 20（本小题 15 分） 解：（1） 1 3 5 5 300A A  (2) 3 1 1 2 5 2 4 4 156A A A A  (3) 1 1 2 3 3 4 21A A A  (4) 3 1 2 1 5 4 4 3 1 112A A A A    21.（本小题 15 分） 解：(1)若该考生被录取，则前四项最多有一项不合格，并且第五项必须合格，记事件 A＝{前四项均合格且第五项合格}，事件 B＝{前四项中仅有一项不合格且第五项合格}，则 P(A)＝（1－ 1 2 ）4×（1－ 2 3 ）＝ 1 48 ， P(B)＝C14× 1 2 ×（1－ 1 2 ）3×（1－ 2 3 ）＝ 1 12 . 又事件 A，B 互斥， 所以所求概率 P＝P(A)＋P(B)＝ 1 48 ＋ 1 12 ＝ 5 48 . (2)该考生参加考试的项数 X 的可能取值为 2，3，4，5. P(X＝2)＝ 1 2 × 1 2 ＝ 1 4 ，P(X＝3)＝C12（1－ 1 2 ）× 1 2 × 1 2 ＝ 1 4 ，P(X＝4)＝C13（1－ 1 2 ）2× 1 2 × 1 2 ＝ 3 16 ， P(X＝5)＝1－ 1 4 － 1 4 － 3 16 ＝ 5 16 ， 故 X的分布列为 X 2 3 4 5 P 1 4 1 4 3 16 5 16 EX=57/16 22.（本小题 15 分） 解：（I）        12 2441222 12 2 222      ax axaaxxaxx ax axf [来源:学*科*网 Z*X*X*K] 因为 2x 为  xf 的极值点，所以   02 f ，即 02 14 2   a a a ，解得 0a 。……4 分 （II）因为函数  xf 在  ,3 上为增函数，所以        0 12 24412 22     ax axaaxxxf 在  ,3 上恒成立。………6 分 当 0a 时，     02  xxxf 在  ,3 上恒成立，所以  xf 在  ,3 上为增函数， 故 0a 符合题意。 … ……7 分 当 0a 时，由函数  xf 的定义域可知，必须有 012 ax 对 3x 恒成立，故只能 0a ，所以     024412 22  axaax 在  ,3 上恒成立。 ………8 分 令函数      24412 22  axaaxxg ，其对称轴为 a x 4 11 ，因为 0a ，所以 1 4 11  a ， 要 使   0xg 在  ,3 上 恒 成 立 ， 只 要   03 g 即 可 ， 即   01643 2  aag ， 所 以 4 133 4 133    a 。 因 为 0a ， 所 以 4 1330  a 。 综上所述，a的取值范围为 3 130, 4       。 ………10 分 （Ⅲ）当 2 1 a 时，方程     x bxxf  3 11 3 可化为     x bxxx  11ln 2 。 问题转化为     322 ln11ln xxxxxxxxxxb  在  ,0 上有解，即求函数   32ln xxxxxg  的值域。 因为函数   32ln xxxxxg  ，令函数    0ln 2  xxxxxh ，………12 分 则      x xxx x xh 