第三章 三角恒等变换（教案）-2020年高中同步教与学数学(苏教版必修4)

高中同步教与学·全新教案(活页) 第三章三角恒等变换 单元复习课 一、求值题 求值:三角函数的求值主要有两类题型,给角求值与给值求 ②一①得 sin asin p=-15 值 tan atan B=3ln asin B 15 给角求值一般是利用和、差、倍角公式进行变换,使其出现特 cos acos B 4 殊角,若为非特殊角,则应变为可消去或约分的情况,从而求出其 【例2】求sin20°+cos280°+√3sin20°cos80°的值. 给值求值一般应先化简所求的式子,弄清实际所求,或变化 答案解法一:原式=1 2(1-cs4o)+2(1+cs160) 已知的式子,寻找已知与所求的联系,再求值 【例1】已知a∈(x,x),B(0,),且c(x 2·(sin100-s60° =-13,求cos(a+ 解析由已知条件要求cos(a+B),应注意到角之间的关系, 25100°-3 a+B=(4+p)-(-a),可应用两角差的余弦公式求得 4100sin60°+sin100° 答案由已知0∈(,x)得一0∈(3一) 解法二:原式=in220°+cos32(60°+20°)+√3sin20° cOs(60°+20°) 20°+ 由B∈(0,4),得+B∈(4,2) cos 20 sin220°+-cos220° 解法三:令M=in220°+cos280°+√3sin20°cos80°,则其对 由 4+β,得 偶式N=cOs220 因为M+N=(sin20+co20°)+(cos280°+sin280°)+ 3·(sin20°cos809+cos20°sin80°)=2+√3in100 COS 4+)(-a)+m(+a)·sin(x-a) cos220°)+(cos280° 3(sin20cos80°-cos20°sin80°) 312 40°+cos160°-√3sin60 【归纳拓展 2sin100s/60°3 给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的差异,一般 可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;同时也要 3sin 1o0- 变换欲求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的 所以①+②得2M 日的 【变式训练1】已知cos(a+B)=2,cos(a- 即si20+co280°+√3in20cos80的值为4 B的值 【归纳拓展】 “给角求值”问题,一般所给出的角都是非特殊角,从表面上 答案∵cos(a+B)= cos acos B- sin asin B 看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系.解 题时,要认真观察,综合三角公式转化为特殊角并且清除非特殊 (a B)=cos acos B+. 角的三角函数而得解 ①+②得 cos acos B 【变式训练2】已知c(4+x)=5,求smn2x的值 高中同步教与学·全新教案(活页) 答案(2+2x)=2(x 【例4】化简 解析化简的结果要求以最简的形式出现,本题中含有正 点评解三角函数问题,变角是一种常用手段,常用方法有:一”学般先切化弦,还要注意到特殊值,联想到表示特殊角 将所求角拆(合)成已知角、特殊角.如2a=(a-B)+(a+B),或与 答案sin50°(1+√3tan10°)=sin50°(1+ 3sin 10 已知角有互余、互补关系的角,又如所求角为2x,已知角+x的 =sin50°cos10°+√3sin10° 为丌+2x,由诱导公式 二次方程 0的 10°+sin10 根为tana,tanB.求tan(a+B)的最小值 答案∵mx2+(2m-3)x+m-2=0有两根tana,tanp in50°3,2(sin30·c10+co30·in10 2cos 40 40 sin 80 Os10°cos10°cos10° 解得m≤且m≠0. 【归纳拓展】 在三角变换中,有时根据需要,可以将一特殊值还原成某 由一元二次方程的根与系数的关系得 三角函数值,如 tan attan B- ,tan a tan p-m cωs2α等,如果我们在解题时巧妙地加以运用,往往会出奇制胜 tan atan阝 三、证明题 三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒 等式 证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,采取化繁为简,左 故tan(a+B)的最小值为 右归一,变更命题等方法,通过三角恒等变换,使等式的两边化异 【归纳拓展】 为同. 数学问题解决的过程实质上是一个等价转化的过程,这 条件恒等式的证明则要认真观察、比较已知条件与求证等 点务必引起高度重视特别是综合题,条件的使用顺序和转化,以式之间的联系,选择适当途径常用代入法、消去法、两头湊等 及知识之间的联系,在平时的训练中都要认真体会和总结 【例5】求证 1--2sin Xcos 【变式训练3】如图