第二章 平面向量（教案）-2020年高中同步教与学数学(人教B版必修4)

高中同步教与学·全新教案(活页) 第二章平面向量 单元概括整合 单元复习课 、平面向量的线性运算 运算,向量的加减法实质上是向量的平移,实数乘向量实质上是 【例1】如右图,ABCD是梯形,AB 向量的伸缩;主要是运用它们的运算法则、运算律,解决三点共 CD,且AB=2CD,M、N分别是DC和AB的 线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题 中点,已知A=a,AD=b,求BMN 【变式训练1】给出下列命题:①若a|=|b,则a=b;②若 解析本题要求用a,b表示B和MN,A A、B、C、D是平面内不共线的四点,且A=D,则四边形ABCD 而a,b不共线,由平面向量基本定量,此平面内任何向量都可用为平行四边形;③若a=b,b=c,则a=c;④或a={b,且a∥b a,b唯一表示,因此需结合图形寻找BC,M与a,b的关系 则a=b;⑤若a∥b,b∥c.则a∥c,其中所有正确命题的序号是 解答连结DN、CN N为AB的中点,而AB=a 解析正确理解向量的概念是关键 A=2a.又AB=2CD,且AB∥CD 解答①不正确,两个向量的长度相等,但它们的方向不 定相同 ∴DC ②正确,∵AB=D,AB=1D,且A∥D,又A、B、 C、D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形 从而D立=MC 正确,a=b,a、b的长度相等且方向相同;又 所 从而△ADN中,DN=AN-AD 以b、c的长度相等且方向相同,所以a、c的长度相等且方向相 在△DMN中, ④不正确,当a∥b且方向相反时,即使a=|b,也不能得 MN=DN-DM=a 不正确,当b=0时,不成立 在△MNC中,N=MM=a--a+b 答案②③ 方法指导向量是既有大小,又有方向的量,深入理解向量 在△NBC中,BC=NC一NB=b-2a 的概念应注意零向量、单位向量、相等向量、平行向量、共线向量 的定 BC=-2a+b, MN=4a-b 【变式训练2】e1,e2是不共线的向量,已知向量A方=2e1+ 方法指导正确理解向量加法、减法的几何意义是解本例ke2CB=1+3e,CD=2e-e,若A、B、,D三点共线,求k的值 的关键,应熟记AB=0O;AB=AN+NB 分析因为A、B、D三点共线,所以存在λ∈R,使AB 【例2】设两个非零向量e1和e2不共线, 入A方,可由已知条件表示出B方,由向量相等得到关于A、k的方程 (1)如果AB=e1+e2,BC=2(e1+4e2),Cb=3(e1-e2),求 组,求得k值 证:A,B,D三点共线; 解答Bb=CD-C (2)若e1|=2,e2|=3,e1和e2的夹角为60°,试确定k,使 ∴A、B、D三点共线,故存在∈R,使AB=ABD e2与e+ke2垂直 分析(1)要证明A,B,D,三点共线,只需证A∥AD:若 2).解得k ken+e2与e+ke?垂直,则(ken+e2)·(e1+ke2)=0 二、向量的坐标运算 解(1)∵Ab=AB+BC+Cb=(e1+e2)+2(e1+4e2) 【例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c 3(e1-e2)=6(e1+e2)=6AB. (1)求满足a=mb+m的实数m、n; ∴AB,AD为共线向量,又AB,A方有公共点A,故A,B,D (2)(a+kc)∥(2b-a),求实数 设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b),且|d (2)由(ke1+e2)·(e1+ke2)=0,ke2+(k2+1)e1·e2+ 解析主要考查向量的坐标运算、共线条件以及运算能力 解答(1)∵a=mb+〃c 即3k2+13k+3=0,解得 士√133 ∴(3,2)=(-m+4n,2m+n) 规律总结利用向量共线、垂直的条件列出方程是解决本 题的关键,向量问题代数 【归纳拓展】 向量的加法、减法和数乘向量的综合运算,即为向量的线性 (2)∵(a+kc)∥(2b-a),a+kc=(3+4k,2+k),2b-a 高中同步教与学·全新教案(活页) (-5,2), 令f(t)=52-20t+12,则f(t)=5(t-2)2-8, ∴2(3+4k)+5(2+k)=0,即k= 当t=2时,f(t)的最小值为 (3)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4), 此时cos∠APB= 又(d-c)∥(a+b),d-c|=1, 因而,当PA·P最小时,OF=(2,4),此时cos∠APB 4(x-4)-2(y-1)=0 感悟规律向量中的最值问题可以通过向量的运算转化为 解得 函数问题求最值.本题是以向量为背录考查二次函数的最值 【归纳拓展】 平面向量的数量积是向量的核心内容,通过向量的数量积 20+,5+2√5)或 d 考查向量的平行、垂直等关系,利用数量积可以计算向量的夹角 感悟规律本题的解答体现了方程思想的运用 长