3.1 和角公式（教案）-2020年高中同步教与学数学(人教B版必修4)

高中同步教与学·全新教案(活页) 第三章三角恒等变换 3.1和角公式 3.1.1两角和与差的余弦(1课时) 教学目标》 情感、态度与价值观 教学过程要注意培养学生利用联系、变化的辩证唯物主义 知识与技能 观点去分析问题.通过公式的推导,更进一步发现“向量”的强大 1.能推导出两角和与差的余弦公式; 作用 2.初步运用公式解决具体问题 过程与方法 重点◆难点》 通过公式的推导,使学生了解它们内在的联系,从而培养学重点 生的逻辑推理能力 两角和与差的余弦公式以及灵活应用. 难点 两角差的余弦的推导 《案例(-)》 教学过程》 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习向量的数量积以及它的主要作用:求两个 向量夹角的余弦值. 学生回答,老师写板书;写 已知向量a=(cos45,sin45),b=(ms30,/出向量的数量积以及它的变形 sin30°),求(a,b)的余弦 (求夹角的余弦值) 师:求向量夹角的余弦值, 解:a|=√cos245°+sin245°=1, 应具备哪些条件? 以旧带新,注意创设 COs 生:应该求出两个向量的数问题的情境,为引出新课 a·b-=(cos45,in452)·(cos30,in30)=量积以及它们各自的模 程打基础 师:回答很好.我们先来求 通过这道题一来巩 SIn 这两个向量的模以及它们的数固向量积,二来为引出两 量积 角差的余弦做好准备 复习引入 生:上黑板板书 师:下面我们来看看这道题 的几何解释 先通过代数方法来 由上面的代数解法可知,它求 们的模都是1,这说明它们都在 单位圆上.(给出幻灯片或边说 从几何图形上直观 如果OA B=b,则地反映这道题 ∠AOB=(a,b)=15;通过图形 即:cos 可知,实际上我们求得的 就是cos15 高中同步教与学·全新教案(活页) 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 练习1求向量a=(cos105°,sin105°)与向量 b=(cos45°,sin45°)夹角的余弦值 师:思考题:请同学们按照 上述想法来看这道题 让学生深刻理解和 加深同学们 师:提醒学生从几何图形方掌握通过图形可以解决 从几何图形 面想问题.并找学生回答 两个向量夹角的余弦 上进一步理 生:在坐标系的单位圆中画 从向量积公式出发 解两个向量 出向量a,b,由图形可知,这两个来求,碰到的困难是“求 夹角的余弦 向量的夹角是60,所以它们夹不出向量积”,逼着学生 角的余弦值是 从几何角度想问题 解 师:如果上述图形中∠xOA B,那么向量OA 公式cos(a-P)的推导,以及公式的结构 方夹角的余弦值是多少? 练习2设∠xOA=a,∠xOB=B,那么向量 生:点A(cosa,sina), OA,O夹角的余弦值是多少? 点B(cosB,sinB), 解:点A(cosa,sina), 那么OA=(cosa,sina), 点B(cosB,sinP), 公式的推导 那么OA=(cosa,sina), 所以cos∠AOB=cos(a=B) 由特殊到一般.推导 以及理解 OB=(cos B, sin B 出两角差的余弦 所以cos∠AOB=cos(a-B)=cos(a,b〉 =cosa·cosB+sina·sin a|·b= cos a. cOS In a 总结: 师:非常好.我们注意到在 cos(aB)=cos acos B+sin asin B 推导过程中,角a,B没有任何限 师:要解决的问题是两角和 的余弦,而我们现在知道的是两 公式cos(a+P)的推导,以及公式的结构 角差的余弦,如何能把和的问题 通过对问题的分析 公式的推导 cos(atB)=cosLa(-B) 转化成差的问题? 和提醒,使得学生有一个 以及理解 n(-B) 生:把a+B写成a-(-) =cosa·cosB-sina·sing 师:对,实质上就是用一f/目标感 替公式中的β,然后再借助于诱 导公式化简 例1求cos105及cos15°的值 师:请看例题 公式的应用 生:105°可以拆成60°与45° 的和;15°可看成45°-30 高中同步教与学·全新教案(活页) 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 例 知cosa= 生:由a的余弦求出a的正 6 a). Cos( 弦,而6是特殊值,由两角差的 解:因为cosa=-4,且兀<a<x,所以 余弦公式可以求出 师:提醒学生在求a的正弦 时,别忽略了依据角的范围决定 它的正负 公式的应用 6sa+s6ma=4√ 对于例3 强化公式的应用 6 生:独立完成 师:讲评注意两个问题 33+43 方法1:可以按和差角的余 例3利用公式Ca+B证明: 弦公式直接展开,将(2k+1)x看 作一个整体角 cosLa+(2k+1)T=-cos a 证明:cos[a+(2k+1