第三章 三角恒等变换（教案）-2020年高中同步教与学数学(人教B版必修4)

高中同步教与学·全新教案(活页) 第三章三角恒等变换 单元概括整合 单元复习课 转化与化归思想的应用 性质,可利用倍角公式.引入辅助角将原式化为基本三角函数式 【例1]已知x∈「0,下,函数y=「(x)=2a;mx-的形式,最后利用三角函数的有界性求得最小值 解答y 2√3 as127 XCOS X+a+b(a<0)的最大值为1,最小值为-5,求a,b (sin'x+cos x)+2sin xcos x+2cos2'x 的值 解析化为单一函数形式:y=Asin(ox+g)+k. 2+sin 2x+cos 2x 解答y=a(1-cos2x)-√3asin2x+a+b +2a+b 4 此时x的集合为 式训练2】求函数y=2 2a+2a+b=1, 又a<0, a+2a+b=-5,解得a=-6,b= 3sin2x的值域和最小正周期. 解析 【归纳拓展】 解题中遇到一些问题直接求解较为困难时,常采用”化归与 转化的思想方法".化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转 化.解题的过程实际上就是一步步转化的过程,数学中的转化比 v3sin 2x+cos 2. x=2sin(2x+ 比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向 ∴T=π,值域为[-2,2] 旧知识的转化,命题之间的转化,空间向平面的转化,多元向一元 答案 转化,高次向低次转化等等,都是转化思想的体现.化归与转化 二、函数与方程思想的应用 应遵循的基本原则:熟悉化,简单化,和谐化,直观化,正难则反 例3】已知f(x)是定义在R上的单调递减的奇函数, 变式训练1】已知a、B∈(x,m),wm(a+B)=一5,当0≤≤时,恒有(0=2)+sm0-3)≥0成立,求 的取值范围 解析关键要抓住奇函教和单调递减这两个关键信息 答案 解答∵f(x)在R上为奇函数且单调递减 ∴f(cos20-21)≥-f(4sin0-3)=f(3-4sin0) 方法指导∵a、β∈ ∴cos20-2t≤3-4sin ∵∈0,1,sin0∈[0,1],而在[0,1]上为增函数 Amax 【例4】已知向量 0(8-4)+sin(a+p)in(B-x)=-6 0∈(r,2x),且|m+ 求co 的值 【例2】求函数y=sin2x+2 'sin xcos x+3cos2x的最小值,并 写出使函数y取得最小值的x的集合 解答m+n=(cos0-sinO+√2,cos0+sin0) 解析本题主要考虑三角函数式的恒等变形及三角函数的 m+n=v(cos 0-sin 0+ 2)2+(cos 0+sin 0)2 高中同步教与学·全新教案(活页) √4+2√2(cos0-sin0) 即cos=2 4)=√1+c(a+x 【归纳拓展】 函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的 由已知m+=82得c∞(0+T/25 数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去 分析问题、转化问题.方程的思想,就是分析数学问题中变量间 又cos(0+ 2+8 的等量关系,构建方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运用 8/10s.:n<<2x,<+<9,方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决函数与方程思想 在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数 的性质,解有关求值、解方程以及讨论参数的取值范围等问题 是通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化 【例5】已知△ABC的三个内角A、B、C满足:A+C=2B 为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有 COs A COS C cOs B 求 的值 关方程的问题常用函数的方法解决 【变式训练3】已知6sin2a+ sin acos c-2cos2a=0 解答∵A+C=2B,∴B=60°,A+C=120° ∈ 求sin(2a+)的值 cOs B CoS COS 解答解法一由已知得(3sina+2cosa)(2sina-cosa) 0÷3sina+2sina=0或2si 由已知条件可知 于是 A+C COs COs(A+C) √2cos(A-C) i(2nx=im2aco。3 +cos 2asi 3√2=0 sin acos a+3× os a sin a cos a+sin a 2 cos a+sin2a (舍) 1+tan'a 1⊥+an2 的值为 将tana 代入上式得 点评运用方程的思想求c4C,解关于cs4A。C的方程 另解∵B=60°,A+C=120° 设 a,则A—C=2a,A=60°+a,C=60°-a. ,即为所求 cOs a cos C 解法二由已知条件可知cosa≠0,则a≠y,所以原式可 化为6tan2a+tana-2=0,即(3tana+2)(2tana-1)=0 sIn a 2 c0saT2 下同解法