第05讲 万有引力定律与天体运动-2020年强基计划高三物理专题讲解（核心素养提升）

2020年强基计划物理专题讲解（核心素养提升） 第5讲 万有引力定律与天体运动 知识精讲 1.万有引力 （一）万有引力定律的两个推论 (1)质量为m1、半径为R的均匀球壳对距球心为r、质量为m2的质点的万有引力为 F＝ (2)质量为m1、半径为R的均匀球体对距球心为r、质量为m2的质点的万有引力为 F＝其中m1r＝。 （二）万有引力定律的应用 ①天体表面的重力加速度g：设天体质量为M且均匀分布，天体为圆球体且半径为R，物体质量为m，则 故 ②关于天体质量和平均密度的计算：设质量为m的行星绕质量为M的恒星作匀速圆周运动的公转，公转的半径为r，周期为T，由牛顿定律，恒星对行星的万有引力就是行星绕恒星作匀速圆周运动的向心力，故有 由此可得恒星的质量为 设恒星的球半径为R，则它的平均密度为 这个公式也适用于卫星绕行星作圆周运动的情况。如设近地人造卫星的周期为T，因有，上式就可以写成 这就很容易求出地球的平均密度了。 2.天体的运动 （一）开普勒三定律 开普勒根据前人积累的行星运动观察资料。总结出关于行星运动的三定律——开普勒三定律。 第一定律：行星围绕太阳的运动轨道为椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。 第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 下面举一个例子详加说明： 为用数学式子表述第二定律，设径矢r在时间内扫过的面积为，则面积速度为，由图可知， 故面积速度为常量 式中v为行星运动的线速度，为径矢r与速度v方向之间的夹角。当行星位于椭圆轨道的近日点或远日点时，速度v的方向与径矢r的方向垂直，即=90º，故 第三定律：各行星绕太阳运动的周期平方与轨道半长轴立方的比值相同，即 开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动。也适用于卫星绕行星的运动。 当半长轴a与半短轴b相等时，椭圆成为圆。由开普勒第二定律可知，圆轨道运动必为匀速圆周运动，万有引力提供向心力。 （二）万有引力势能： 质量为m1、半径为R的均匀球壳对距球心为r(>R)、质量为m2的质点，相互作用的引力势能为Ep＝－(r>R)。 对放置在球内的质点，相互作用的引力势能为一常量，等于质点放置在球面时的势能，即Ep＝－(r≤R)，就像球体质量全部集中在球心一样。　 （三）宇宙速度： 对于绕地球作半径为r的匀速圆周运动的卫星，由牛顿第二定律和万有引力定律可得 根据地球表面物体重力与引力的关系 R为地球半径卫星速率为 对于贴着地球表面运行的卫星。 这就是第一宇宙速度，也就是发射卫星必须具有的最小速度 利用能量关系，可求出从地球表面发射的宇宙飞般，为能挣脱地球引力的束缚，其发射速度必须满足 称为第二宇宙速度。 典型例题 题型一 万有引力定律的计算 例1.（华约自主招生）如图所示，有人设想通过“打穿地球”从中国建立一条过地心的光滑隧道直达阿根廷.如只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度(　　) A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 变式1.(清华大学自主招生)如图所示，半径为R的均质球质量为M，球心在O点，现在被内切的挖去了一个半径为R/2的球形空腔（球心在O′）。在O、O′的连线上距离O点为d的地方放有一个很小的、质量为m的物体，试求这两个物体之间的万有引力。 题型二 万有引力定律的理解与应用 例2.(浙江大学自主招生)假定地球为均匀球体，其半径为R0，在地球表面测得重力加速度为g0，设g为离开地球表面的高度达h时的重力加速度。当h比R0小得多时，g和g0可能的变化关系近似式为(有数学近似公式：当x≪1时，(1＋x)n≈1＋nx。)(　　) A．g＝g0 B．g＝g0 C．g＝g0 D．g＝g0 变式2．(“北约”自主招生)两质量均为m的小球，放在劲度系数为k，原长为l的弹簧两端，自由静止释放。设两个小球中心与整个弹簧都始终在一条直线上，小球半径r≪l。 (1)问仅在两球间万有引力的作用下，弹簧的最大压缩量为多大？ (2)若体系整体绕中心以角速度ω旋转，要求弹簧保持原长，ω应为多大？ 题型三 卫星的运行与变轨 例3.（华约自主招生）.已知地球的半径为R，地球附近的重力加速度为g．一天的时间为T．已知在万有引力作用下的势能公式为𝐸𝑝 = −GMm/ 𝑟 ，其中M为地球的质量，r为卫星到地心的距离． （1）求同步卫星环绕地球的飞行速度； （2）求从地球表面发射同步轨道卫星时的速度v0至少为多少． 变式3.（28届预赛）宇航员从空间站（绕地球运行）上释放了一颗质量m=500kg的探测卫星．该卫星通过一条柔软的细轻绳与空间站连接，稳定时卫星始终在空间站的正下方，到空间站的距离l=20km．已知空间站的轨道为圆形，周期T = 92 min（分）． i．忽略卫星拉力对空间站轨道的影响，求卫星