2020北京空中课堂高二数学（选修1-1人教B版）导数的实际应用 课件+教案+学习任务单 (共3份打包)

教 案 教学基本信息 课题 导数的实际应用 学科 数学 学段：高中 年级 高二 教材 书名:书名：普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1 （B版） 出版社：人民教育出版社出版日期 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1. 引导学生用导数方法求解有关用料最省、利润最大、效率最高等最优化问题；感受导数在解决实际问题中的作用. 2. 通过实际生活中最优化问题的分析、求解与决策，引导学生体会函数与方程思想、数形结合、转化思想在解决实际问题中的应用，提升数学建模、数学运算等数学学科核心素养. 教学重点： 利用导数知识解决实际生活中的最优化问题. 教学难点: 如何建立函数模型，把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系. 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 引入 生活中，经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这节课，我们一起学习利用导数解决生活中的一些优化问题． 直接切入话题，明确课堂内容 新课 （一）案例示范，学习方法 例１．有一块边长为正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？ 问题：利用函数解决实际问题的基本步骤是什么？ 解：设截下的小正方形边长为，容器容积为，则做成的长方体形无盖容器底面边长为，高为， 问题：利用导数求函数最值的一般步骤是什么？ , 令即 解得(舍去) 在区间内，可能是极值点．且 当时，当时， 因此是极大值点，且在区间，是唯一的极值点，所以是的最大值点． 即当截下的小正方形边长为时，容积最大． 案例示范，引导学生体验利用导数求实际问题中最优解. 阶段小结 解函数应用问题的步骤 (1)审题：审清题意，理清条件和结论，明确题目中的常量和变量，并作符号约定； (2)建模：将文字语言转化为符号语言，建立适当的函数关系，结合实际背景明确定义域； (3)解模：运用导数知识研究数学模型，求解函数最值及取得最值的条件． (4)检验与还原：将数学结论还原为实际问题，并检验． （二）尝试练习，应用方法 例2.班级举行活动，现请你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm2，上、下两边各空 2dm ，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ ( 2 1 2 1 12 8 ) 整理解决问题的过程，形成思维范式 （审题） 解：设版心的高为，则版心的宽为，此时四周空白面积为： （建模） （解模） 所以 解方程得 当时，当时，因此是函数的极小值点，也是最小值点． 即当时，. （检验与还原） 所以当版心高为16dm ，宽为8dm时，即海报高为20dm ，宽为10dm时能使四周空白面积最小，最小值为72dm2. 法二：因为 当且仅当时，即当时，取最小值72，此时高等于16宽等于8． 注：对于 类型函数的处理，在运用均值定理求最值时，应该注意定理成立的条件是否具备，如果不具备，则可以借助于函数 自主经历解决问题的过程，在应用中理解方法的本质. 求导，研究函数的单调性，确定最值取得的情况． （三）自主实际，内化方法 例3.矩形横梁的强度同它的断面的高度的平方与宽的积成正比.要将直径为的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应该是多少？ 解：如图所示，设断面宽度为，高为， 则， 横梁的强度函数为 （为强度系数，）， 所以 则 令 解方程，得两根，其中负根没有意义，舍去. 当 时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以是函数在区间内只有一个极大值点，且是唯一的极大值点. 所以当时，取得最大值. 这时 . 即当宽为，高为时，横梁的强度最大. 例4.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解：设圆柱的高为，底半径为，则表面积 由，得， 则 则 解方程 解得， ， 所以 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以只有一个极小值，即为最小值 即当，取得最小值。 此时===2， 即. 当圆柱形金属饮料罐的容积一定，它的高与底面直径相等时，所用材料最省． 总结 １.利用导数求解实际最优化问题的步骤 实际问题—数学建模—导数求解——问题解决 （审题） （建模） （解模） （检验与还原） 2.数学思想方法 函数方程思想、数学结合思想、转化与化归思想 作业 1.用长度为的铁丝围成长方形，求围成的最大面积. 2. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每