专题19 三垂直模型-【口袋书】中考数学背诵手册

中考常考几何模型 专题19 三垂直模型 如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BCD≌Rt△CAE。 模型精练 1．（2020•浙江自主招生）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是　 　． 2．（2019•九龙坡区期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M、N分别是 BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论： ①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值． 其中结论正确的有　 　． 3．（2020•孝南区校级月考）如图，已知AE＝DE，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC．求证：AB+CD＝BC． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，AD＝7cm，BE＝3cm，求DE的长． 5．如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F． （1）求证：EF＝CF﹣BE． （2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论． 6．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，其中a、c的面积分别为5和11．求正方形b的面积． 7．（2019•红塔区三模）如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且BE＝CF，求证： （1）AE＝BF； （2）AE⊥BF． 8．如图，在△ABC外分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H，求证： （1）AMEG； （2）AH⊥EG； （3）EG2+BC2＝2（AB2+AC2）． 4 /4 $$ 中考常考几何模型 专题19 三垂直模型 如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BCD≌Rt△CAE。 模型精练 1．（2020•浙江自主招生）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积是　3　． 【点睛】由旋转可得△DHC≌△DFE，可求得EF，可求得△ADE的面积． 【解析】解：如图，过D作DH⊥BC于点H，则HC＝BC﹣BH＝BC﹣AD＝5﹣3＝2， ∵旋转， ∴△DHC≌△DFE， ∴EF＝HC＝2，且∠EFA＝∠DHC＝90°， ∴S△ADEAD•EF3×2＝3， 故答案为：3． 2．（2019•九龙坡区期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M、N分别是 BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论： ①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值． 其中结论正确的有　①③④　． 【点睛】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论． 【解析】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE， ∴∠1+∠AEB＝90°，∠DEC+∠AEB＝90°， ∴∠1＝∠DEC， 又∵∠1+∠2＝90°， ∴∠DEC+∠2＝90°， ∴∠C＝90°， ∴∠B+∠C＝180°， ∴AB∥CD，故①正确； ∴∠ADN＝∠BAD， ∵∠ADC+∠ADN＝180°， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， 又∵∠AEB≠∠BAD， ∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误； ∵∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，而∠3＝∠1， ∴∠2＝∠4， ∴ED平分∠ADC，故③正确； ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠EAM+∠EDN＝360°﹣90°＝270°． ∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F， ∴∠EAF+∠EDF270°＝135°． ∵AE⊥DE， ∴∠3+∠4＝90°， ∴∠FAD+∠FDA＝135°﹣90°＝45°， ∴∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝180﹣45°＝135°，故④正确． 故答案为：①③④ 3．（2020•孝南区校级月考）如图，已知AE＝DE，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC．求证：AB+CD＝BC． 【点睛】通过全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△ECD，则AB＝EC，BE＝CD，所以易证得结论． 【解析】证明：如图，∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°， ∴∠BAE＝∠CED（同角的余角相等）， ∴在△ABE与△