2020北京空中课堂高二数学（人教B版选修1-1）-导数的几何意义（课件+教案+学习任务单）

教 案 教学基本信息 课题 导数的几何意义 学科 数学 学段：高中 年级 高二 教材 书名:书名：普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1 （B版） 出版社：人民教育出版社出版日期：2007 年 1 月 教学设计参与人员 姓名 单位 联系方式 设计者 实施者 指导者 课件制作者 其他参与者 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系. 2.理解曲线的切线的概念. 3.通过函数图象直观理解导数的几何意义，能够应用导数的几何意义解决简单的切线问题. 教学重点、难点： 理解导数的几何意义. 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 引入 上节课我们学习了函数的导数，函数在处的瞬时变化率就称为函数在处的导数.我们知道，通过函数的图象研究函数的性质是解决函数问题经常采用的方法，那么，我们能通过函数的图象研究函数的导数吗？ 提出问题，引发思考. 新课 （1） 设计方案，解决问题 我们知道函数在处的导数的计算方法为： 1. 计算； 2. 计算； 3. 求. 现在，我们可以看看这三步计算在函数图象上的具体体现. （二）通过函数图象理解割线与平均变化率的关系 曲线C是函数的图象,是曲线C上的任意一点, 为P邻近一点, PQ为C的割线, PM//x轴, QM //y轴, β为的倾斜角. 观察图象，大家来思考表示什么？ 可以看到因此，也即. 问题：当时，会有相应的图象变化吗？ （三）形象直观，明确切线的概念 请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时, 割线PQ绕着点P逐渐转动的情况. 当点Q沿着曲线无限接近点P即时, 割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. （四）准确表达，理解导数的几何意义 问题：表示什么呢？ 设切线的倾斜角为,那么当时, 割线PQ的斜率趋向于曲线在点P处的切线的斜率. 当切线斜率存在时， 也即，. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限. 教师引导学生以已知探求未知. 通过观察图象，体会数形的统一，感受图象法的直观. 通过图象，体会割线运动变化的过程，直观感知极限位置，理解切线的概念. （1）联系平均变化率与瞬时变化率的关系，用数学语言表示割线与切线之间的关系，发展学生的数学抽象素养. （2）理解导数的几何意义是本节课的教学重难点，通过层层推进，数形结合，逐步理解导数与切线斜率之间的关系，突出重点，突破难点. 例题 （一）理解概念，应用概念求函数在某一点处的切线斜率 例1.求抛物线在点(1，1)处的切线的斜率. 解： 因此抛物线过点(1，1)的切线的斜率为2. （二）理解概念，应用概念求函数在某一点处的切线方程 例2.求双曲线在点处的切线方程. 解: 因此抛物线在点的切线的斜率为， 由直线方程的点斜式，得切线方程为 小结： 求曲线在处的切线方程： 1. 求极限， 2. 用点斜式写出切线方程并化成斜截式. （三）理解概念，应用概念求函数过某一点处的切线方程 例3.求抛物线过的切线方程。 问题：观察题目设问的改变，点与之前例题中的点有什么不同？ 问题：求直线方程需要知道几个条件？ 问题：求切点坐标时，列方程所需的等量关系是什么？ 解：点不在抛物线上， 设此切线过抛物线上的点，则 所以此切线的斜率为， 又因为此切线过点和点， 所以，即， 解得或， 则切线方程为或. 小结：切线斜率存在时，既可以用导数（割线斜率的极限值）表示，也可以用切线上两点坐标的表示，从而可以建立等量关系列方程. 求函数在处的导数的一般步骤：作差、作比、求极限，让学生动笔计算,加深对导数的几何意义的理解. 重点强调直线方程的点斜式，是在利用导数求切线方程时最常应用的形式. 层层设问，帮助学生理解切点是解决问题的关键点，并能通过切线斜率找到等量关系建立方程。 辨析 例4. 求曲线在点处的切线方程. 解： 点处的切线斜率为3， 切线方程为. 思考：例题中所求的切线方程与曲线是否还有其他公共点？ 解析：对方程组，解得 或， 从而还有公共点. （一）多图比较，辨析切线的概念 思考：通过三个图形的对比，你能得到关于切线的哪些性质？ 曲线在某点处的切线: 与该点的位置有关，曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个. 例5：求曲线在点处的切线斜率. 现在，大家应该很明确计算切线斜率的方法了。我们一起来算一下。 解： ， ， 从而曲线在点处的切线斜