专题03 正余弦定理的综合运用-2020年高一数学春季课程教案（苏教版）

第3讲 讲 正余弦定理的综合运用 概述 适用学科 高中数学 适用年级 高中一年级 适用区域 苏教版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1. 正余弦定理的综合题型 2. 解三角形的应用 学习目标 1. 让学生掌握综合题型的做题方法； 2. 对解三角形的应用题型有所理解。 学习重点 正余弦综合题型的把控和解三角形实际问题的研究。 学习难点 正余弦综合题型的把控和解三角形实际问题的研究。 本节的教学重点是使学生掌握正余弦定理相互综合的题型，也需要对一些偏难题型有所把控，掌握适当的方法循序渐进的去完成，同时还需要在相应的实际问题上能够很好的把控。 学生学习本节时可能会在以下两个方面感到困难： 1.综合题型不会将相应的知识点进行合理的运用； 2.在实际问题上不能理解好题目，逻辑关系理不顺，不能对公式进行合理的运用。 【知识导图】 教学过程 一、导入 在学习本章节时，学生必须要对正弦，余弦定理掌握清晰，知道何种情况下使用什么公式，同时学生也需要有一定的逻辑能力，将二者有机结合起来。在解三角形实际问题的学习时，要认真研读题目，掌握已知条件的相互联系，从而更好的去完成相应习题。 二、知识讲解 知识点1 正余弦定理的知识梳理 正弦定理：， 推论：正弦定理的边角互换功能 ① ，，； ②，，； ③ ==； ④； 三角形中的基本关系式： 余弦定理： 余弦定理可以变形： 方法归纳： 一般考虑两个方向进行变形： （1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用； （2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理 知识点2 解三角形的应用 1．测量问题的有关名词 （1）仰角和俯角： 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角 （2）方位角：指从标准方向的北端起，顺时针转到目标方向线的角． （3）方向角 （4）坡角：坡面与水平面的夹角 （5）坡比：是指坡面的垂直高度与水平宽度的比。 2．求解三角形实际问题的基本步骤 （1）理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）； （2）根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； （3）利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解； （4）检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． 三、例题精析 例题1 【题干】在中，的角平分线,则=_______. 【答案】 【解析】由正弦定理得，即，解得，，从而，所以，. 例题2 【题干】已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 【答案】 【解析】，所以， 例题3 【题干】在中,则_________． 【答案】 【解析】在中,由余弦定理得 例题4 【题干】如图所示，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为此时气球的高度是，则河流的宽度约等于________(用四舍五入法将结果精确到个位，参考数据：) [来源:Zxxk.Com] 【答案】 【解析】过点向地面作垂线，记垂足为，则在中， 在中， 由正弦定理得， 故河流的宽度约为。 例题5 【题干】 的内角的对边分别为,已知,，则的面积为 . 【答案】 【解析】由正弦定理可知： 化简得即 故答案为. 例题6 【题干】在平面四边形中，为等边三角形，则面积的最大值是 ．D C B A 【答案】 【解析】设的面积为， 则 ＝ 设则 于是即 所以 从而的最大值为，此时 例题7 【题干】在中，角的对边分别是 （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1），又， 代入解得； （2）由正弦定理得, 又， 解得, 例题8 【题干】的内角的对边分别为,设. （1）求 ; （2）若,求. 【答案】（1）（2）. 【解析】（1）由题意可知,由正弦定理得,故,又因为,所以. （2）由正弦定理可得,所以,化简整理得,所以,又因为,所以 ,故. 例题9 【题干】在平面四边形中,,,,. (1)求 (2)若,求. 【答案】 （1） ；（2） 【解析】（1）在中，由正弦定理有，所以， 所以，因为，所以， 所以. （2） 因为，所以，在中， 由余弦定理：.所以. 例题10 例题6 【题干】的内角的对边分别为，已知的面积为. （1）求； （2）若，求的周长. 【答案】：（1）；（2）3+. 【解析】：（1）=; （3） ；则有；得.由正弦定理，,所以.余弦定理：即9=， 所以三角形周长为. 例题11 【题干】在中，内角对边的边长分别是，已知，． （1）若的面积等于