专题17 球的有关问题-冲刺2020年高考满分数学（理）纠错专辑

专题17 球的有关问题（原卷版） 球是最常见的一种几何体,在近几年高考题中与球有关的问题频繁出现。在此类问题中,既可以考查球的表面积、体积及距离等基本量的计算,又可以考查球与多面体的相切接,同时也能很好地考查同学们的画图能力、空间想象能力、推理论证能力。考查形式多以选择题和填空题出现。本专题对近十年来，全国新课标卷理出现的与球有关的问题进行汇编和简要的分析。 球的有关性质 性质1. 球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆. 性质2. 球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面. 反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心. 性质3: 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r 的关系为:R2=d2+r2. 性质4. 球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心. 性质5. 球的直径等于球的内接长方体的对角线长. 性质6. 若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心 是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点. 球有关问题易错点 易错点1：公式记忆错误 易错点2：多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误 易错点3：简单的组合体画不出适当的截面图致误 题组一：以三视图为背景 1．（2016I）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是，则它的表面积是 A．17π B．18π C．20π D．28π 2.（20131）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如不计容器的厚度，则球的体积为 A. B. C. D. . 题组二，以棱（圆）柱为载体 3.(2010)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________. 4．(20173)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________. 题组三：以棱（圆）锥为载体 5.(2012)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上， 是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为_________. 6.（20191）已知三棱锥 的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC， 是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点， ，则球O的体积为________ 7.（2011）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且 ,则棱锥0-ABCD的体积为 。 8．已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ． 题组四：与最值相关 9.（20152）已知A,B是球O的球面上两点， ,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________. 10.（20183）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ΔABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D-ABC体积的最大值为_________. 11.（20163）在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是__________ 题组五：综合题型 12.在平面四边形ABCD中， ,BC=CD=DB=2,现将ΔABD沿BD折起，使二面角A-BD-C的大小为600.若A,B,C,D四点在同一个球的球面上，则该球的表面积为_____. 13.已知空间四边形ABCD， ,BD=CD=6,且平面ABC 平面BCD，则该几何体的外接球的表面积为_____. 14．四边形ABDC是菱形， ， ，沿对角线BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值为 ，则三棱锥D-ABC的外接球的体积为_____。 多面体与球切接题型解题规律： 1.正方体内切球、外接球、棱切球的球心都是正方体的中心， 若正方体棱长为 ，则这三种球的半径分别为 . 2.长方体的外接球的球心是其体的对角线的中点；若长方体的过同一顶点的三条棱长分别为 则外接球的半径是 ；若长方体过同一顶点的三个面的对角线长分别为 则外接球的半径是 . 3.直三棱柱的外接球球心是上、下底面三角形外心连线的中点.若直三棱柱的侧棱长为h，底面三角形外接圆半径为R（或可用正弦定理求得它）则外接球半径为 4.正四面体的内切球、外接球的球心都是正四面体的中心，它是高的一个四等分点，若四面体的棱长为a，则其内切球半径为 ，外接球半径为 . 5.正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角