精品解析：2020届江苏省南通市通州区高三下学期第一次模拟测试数学试题

江苏省南通市通州区2020届高三第二学期第一次测试 数学试题 一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分. 1. 已知集合，集合，则_____． 2. 设复数，则__________． 3. 已知函数，若，则的值是_____. 4. 数列的前项和为，且，则数列的最小值为__________. 5. 若变量满足，且恒成立，则的最小值为_____ 6. 青岛二中高一高二高三三个年级数学MT学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为_____． 7. 底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为______． 8. 执行下面的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为____. 9. 已知，，则__________． 10. 函数图象在处的切线被圆截得弦长为，则实数的值为________. 11. 若正实数、满足，且，则的取值范围为______． 12. 已知直角三角形的两直角边，，圆是该三角形的内切圆，是圆上的任意一点，则的最大值为________． 13. 已知函数，，若对任意，总存在使得成立，则实数a的取值范围是__________． 14. 已知函数，若对任意的，在区间总存在唯一的零点，则实数的取值范围是_________ . 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）若，求面积的最大值. 16. 如图，在三棱锥A﹣BCD中，E为CD的中点，O为BD上一点，且BC平面AOE． （1）求证：O是BD的中点； （2）若AB=AD，BCBD，求证：平面ABD平面AOE． 17. 已知椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为，点为椭圆的左顶点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设圆，过点作圆的两条切线分别交椭圆于点和，求证：直线过定点. 18. 如图，一条小河岸边有相距两个村庄（村庄视为岸边上两点），在小河另一侧有一集镇（集镇视为点），到岸边的距离为，河宽为，通过测量可知，与的正切值之比为．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥（分别为两岸上的点，且垂直河岸，在的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知两村的人口数分别是人、人，假设一年中每人去集镇的次数均为次．设．（小河河岸视为两条平行直线） （1）记为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用表示； （2）试确定的余弦值，使得最小，从而符合建桥要求． 19. 已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，. ⑴若，，（），求证：数列是等比数列； ⑵若数列是等比数列，求，的值； ⑶若，且，求证：数列是等差数列. 20. 若函数和同时在处取得极小值，则称和为一对“函数”. （1）试判断与是否是一对“函数”； （2）若与是一对“函数”. ①求和的值； ②当时，若对于任意，恒有，求实数的取值范围. 附加题 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． [选修4-2：矩阵与变换] 21. 选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵满足：，其中是互不相等的实常数，是非零的平面列向量，，，求矩阵． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系中，曲线：，曲线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线，的极坐标方程； （2）曲线：（为参数，，），分别交，于，两点，当取何值时，取得最大值. 【必做题】每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4. （1）求p的值； （2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上. 24. 设实数，整数，． (1)证明：当且时，； (2)数列满足，，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市通州区2020届高三第二学期第一次测试 数学试题 一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分. 1. 已知集合，集合，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】 求出集合,集合,由此能求出. 【详解】解：集合，集合， 由题得，. 故答案为：. 【点睛】本题考查集合的表示以及集合