2.3 第1课时 数乘向量-2019-2020学年高一数学必修4自学学案（北师大版）

§1从速度的倍数到数乘向量 第1课时　数 乘 向 量 一、知识自主梳理 1．数乘向量 (1)定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向分别为： ①长度：|λa|＝|λ||a|； ②方向：当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0，方向任意． (2)几何意义： λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长(|λ|>1)或压缩(|λ|<1)为原来的|λ|倍． (3)运算律 设a，b为向量，λ，μ为实数． ①结合律：λ(μa)＝(λμ)a； ②第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb． 2．向量的线性运算 向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常叫作向量的线性运算(或线性组合)． 3．向量共线定理 判定 定理 a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线 性质 定理 若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa 二、讲透、练会 题型一：数乘向量的概念及应用 例1．已知a、b为两非零向量，试判断下列说法的正误，并说明理由． (1)2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的两倍； (2)－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的倍； (3)－a是一对相反向量；a与 (4)a－b与－(b－a)是一对相反向量． 解析：(1)正确，∵2>0，∴2a与a的方向相同，且|2a|＝2|a|； (2)正确，∵－2<0，5>0，∴－2a与5a的方向相反， 又×|5a|；，∴|－2a|＝＝＝ (3)正确，因为|－a与a同向；a与a反向，a|，且－|a|＝|a|＝ (4)错误，∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b与－(b－a)是相等向量，而不是相反向量． 【名师点评】 理解数乘向量要抓住两点：一是大小，二是方向．设λ，μ∈R，a≠0若λμ<0，则λa与μa的方向相反，若λμ>0，则λa与μa的方向相同；若λμ＝0，则λa，μa至少有一个为0；当λμ≠0时，.＝ 【跟踪训练1】如图，已知向量a，b，c，求作向量3a－2b＋c. 解法一：在平面内任取一点A，作 ＝3a， ＝－2b， ＝ c，连接AD，则＝3a－2b＋c即为所求． (如图所示) 解法二：在平面内任取一点A，作 ＝3