2.3 第2课时 平面向量基本定理-2019-2020学年高一数学必修4自学学案（北师大版）

第2课时　平面向量基本定理 一、知识自主梳理 平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：我们把不共线的两个向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底． 题型一：平面向量基本定理的理解应用 例1．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ∈R，那么下列说法中不正确的是(　　) ①λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③平面α内的任意一个向量a都可以分解为a＝λe1＋μe2的形式，且这种分解是唯一的； ④若λe1＝μe2，则λ＝μ＝0. A．①②　　　B．②③　　　C．③④　　　D．② 解析：由平面向量基本定理知，①，③正确；对于④，若λe1＝μe2，则0λe1＋(－μ)e2，因为e1，e2不共线，所以必有λ＝μ＝0，④正确；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故②不正确． [答案]　D 【名师点评】 1．由平面向量基本定理可知：①基底不唯一，一组基底中的两向量不共线；②平面内的任意向量a都可在给出的基底下进行分解；③基底给定时，分解形式唯一，即λ，μ是被a，e1，e2唯一确定的一对实数． 2．解决这种概念性问题的关键是深刻理解平面向量基本定理的意义和基底的概念． 【跟踪训练1】设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 解析：选B　∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)， ∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为平面的基底． 【跟踪训练2】设e1，e2是平面α内的两个不共线的向量，a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)，有下列结论： ①若a与e1共线，则λ＝0； ②若a与e2共线，则λ＝0； ③若a＝0，则λ＝μ＝0. 以上结论正确的是________(填序号)． 解析：若a与e1共线，则a＝λe1＝λe1＋0×e2， ∴μ＝0，故①不正确，②正确；若a＝0，则λe1＋μe2＝