高中物理奥林匹克竞赛——一阶线性微分方程(共19张PPT)

1、基本概念 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 一、一阶线性微分方程 例如 线性的; 非线性的. 形如 齐次方程的通解为 2、一阶齐次线性微分方程的解法 (使用分离变量法) （C为任意常数） 3. 线性非齐次方程解法 讨论 两边积分 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比: 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 作变换 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 一阶非齐次线性微分方程的求解步骤： Step1：首先求对应的齐次线性微分方程的通解 Step2：利用常数变易法将齐次线性微分方程解中 的c变成c(x),即： 代入原方程得 即得到非齐次线性方程的通解为： 解 例1 解 例2 若将y看成函数，x作为变量，则方程不是一阶线性方程；所以将x看成函数，y作为变量，则原方程化为： 然后令 解 例3 练习： 伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 二、贝努利方程(可化为一阶线性方程的方程) 代入上式 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. 求出通解后，将 代入即得 解 例 4 又 所以 为原方程的通解。 例5 用适当的变量代换解下列微分方程: 解 所求通解为 解 分离变量法得 所求通解为 思考题 求微分方程 的通解. 思考题解答 $$