高中物理奥林匹克竞赛——微分方程基本概念(共16张PPT)

§1 微分方程基本概念 函数反映了客观世界运动过程中各种变 量之间的函数关系，是研究现实世界运动规 律的重要工具，但在大量的实际问题中遇到 稍为复杂的运动过程时，要直接写出反映运 动规律的量与量之间的函数关系往往是不可 能的，但常可建立含有要找的函数及其导数 的关系式，这种关系式称为微分方程，对微 分方程进行分析，找出未知函数来，这就是 解微分方程。 解 一、问题的提出 （1） （2） （3） 将（2）代入（3） （4） 解 （5） （6） 对（5）两边积分可得： （7） 将（6）代入（7）可得： （8） 在例1和例2中的（1）和（5）式中都含有未知函数的导数，我们有：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.并称方程中最高阶导数的阶数为微分方程的阶数。 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些 导数(或微分)之间的关系式. 二、微分方程的基本概念 说明1 （1）一个微分方程中自变量、自变量的未知函数未必都出现；例1中两者都出现，例2中自变量未必现； （2）例1和例2中的微分方程分别为一阶、二阶微分方程； 分类1：微分方程与偏微分方程 另一类未知函数为多元函数的方程为偏微分方程 在上述两个引例中未知函数都是一元的，我们称未知函数为一元函数的微分方程为常微分方程。 说明2 I、一阶微分方程几种形式： （1）一般形式： 例1和例2中的微分方程分别为一阶常微分方程和二阶常微分方程； （2）一阶显示方程： （3）对称形式： 本章我们主要研究的是常微分方程。 II、在一阶方程中，x和y的关系是等价的，因此 有时可以将x看成函数，y看成变量； 其中x为自变量，y为未知函数，这里y(n)一定要出现，其它的可以出现也可以不出现。 一般地，n阶常微分方程记为 若 则称之为n阶线性常微分方程， 分类2：线性与非线性微分方程 可以表示称如下形式 均为自变量x的已知函数。 反之，不能写成上面形式的微分方程称为非线性 微分方程。 如引例中的1、2都是线性的微分方程，分别 为一阶和二阶线性微分方程；而 都是一阶和二阶非线性微分方程。 （1）若 （2）若 分类3：解与隐式解 能使得它变为恒等式 所确定的隐函数 容易验证： 解和隐式解统称为微分方程的解 (1)通解:若上式的解中含有n个独