第34期 2.7正方形-2019-2020学年八年级下册初二数学《数理报》湘教版（答案见36期）

书书书 特殊平行四边形主要包 括矩形、菱形、正方形，由于 各自的特殊性，使得各种特 殊平行四边形呈现出多彩的 性质与判定．而要真正灵活 使用这些性质与判定，就要 在具体的问题背景中应用它 们的特殊点，下面从一个问 题的变化来进行研究． 【问 题】如 图 １， 在 △ＡＢＣ中，ＢＣ边上的中线为 ＡＤ，点Ｅ，Ｆ分别是边 ＡＢ，ＡＣ 的中点．试问四边形ＡＥＤＦ是 什么形状的四边形？ 解析：方法一：因为点 Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是边 ＢＣ，ＡＢ，ＡＣ 的中点，所以ＤＥ∥ＡＣ，ＤＦ∥ＡＢ．所以四边形ＡＥＤＦ是 平行四边形． 方法二：因为点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＡＢ，ＡＣ的中点， 所以ＤＥ＝１２ＡＣ＝ＡＦ，ＤＦ＝ １ ２ＡＢ＝ＡＥ．所以四边形 ＡＥＤＦ是平行四边形． 当我们利用平行四边形的判定方法判定这个四边 形是平行四边形后，就会发现，这个问题应用了三角形 的中位线，如果对这个问题进行拓展，那么就能发现它 可以与特殊的平行四边形的知识进行综合． 【拓展１】如图２，在 △ＡＢＣ中，ＢＣ边上的中线为 ＡＤ，点Ｅ，Ｆ分别是边ＡＢ，ＡＣ的中点．若∠ＢＡＣ＝９０°， 那么四边形ＡＥＤＦ是什么形状的四边形？ 解析：方法一：从“问题”中可知，四边形ＡＥＤＦ是平 行四边形，又∠ＢＡＣ＝９０°，所以四边形ＡＥＤＦ是矩形． 方法二：如图２，连接ＥＦ．因为点Ｅ，Ｆ分别是边ＡＢ， ＡＣ的中点，所以 ＥＦ＝ １２ＢＣ．因为 Ｄ为 ＢＣ的中点， ∠ＢＡＣ＝９０°，所以ＡＤ＝１２ＢＣ．所以ＡＤ＝ＥＦ．又因为 四边形ＡＥＤＦ是平行四边形，所以四边形ＡＥＤＦ是矩形． 【拓展２】如图３，在 △ＡＢＣ中，ＢＣ边上的中线为 ＡＤ，点Ｅ，Ｆ分别是边ＡＢ，ＡＣ的中点．若ＡＢ＝ＡＣ，那么 四边形ＡＥＤＦ是什么形状的四边形？ 解析：由“问题”可知，四边形 ＡＥＤＦ是平行四边 形，因为ＡＦ＝１２ＡＣ，ＡＥ＝ １ ２ＡＢ，ＡＢ＝ＡＣ，所以ＡＥ＝ ＡＦ．所以四边形ＡＥＤＦ是菱形． 【拓展３】如图４，在 △ＡＢＣ中，ＢＣ边上的中线为 ＡＤ，点 Ｅ，Ｆ分别是边 ＡＢ，ＡＣ的中点．若 ＡＢ＝ＡＣ，且 ∠ＢＡＣ＝９０°，那么四边形ＡＥＤＦ是什么形状的四边形？ 解析：方法一：由“拓展２”可知在ＡＢ＝ＡＣ的条件 下，四边形 ＡＥＤＦ是菱形．又 ∠ＢＡＣ＝９０°，所以菱形 ＡＥＤＦ是正方形． 方法二：如图４，连接 ＥＦ．因为点 Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ， ＡＣ的中点，所以ＥＦ＝ １２ＢＣ．因为∠ＢＡＣ＝９０°，点Ｄ 是ＢＣ的中点，所以 ＡＤ＝ １２ＢＣ．所以 ＥＦ＝ＡＤ．又由 “拓展２”可知四边形ＡＥＤＦ是菱形，所以菱形ＡＥＤＦ是 正方形． ! ! ! " # $ % & ! " % & ! " ' $ ! # ! ' " $ % & ! $ ! % & $ ' " 书书书 正方形因其特殊的性质，在综合证明题的考查中， 常常受到命题者的青睐，请看下面的例题． 例　综合与实践 问题情境： 如图１－①，已知点Ｅ，Ｆ分别在正方形 ＡＢＣＤ的边 ＡＢ，ＢＣ上，且ＢＥ＝ＢＦ，点Ｍ为ＡＦ的中点，连接ＣＥ，ＢＭ． （１）线段ＣＥ与ＢＭ之间的数量关系是 ，位 置关系是 ； 猜想证明： （２）如图１－②，将线段ＢＥ和ＢＦ绕点Ｂ逆时针旋 转，旋转角均为α（０°＜α＜９０°），点Ｍ为线段ＡＦ的中 点，连接ＢＭ．请你判断（１）中的两个结论是否仍然成立． 若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 分析：（１）先证明△ＡＢＦ≌△ＣＢＥ，得ＡＦ＝ＣＥ．再 利用直角三角形斜边的中线为斜边的一半，证明 ＢＭ ＝ １ ２ＡＦ即可得ＣＥ＝２ＢＭ．由全等得∠ＢＡＦ＝∠ＢＣＥ，再 由ＢＭ＝ＭＡ得∠ＢＡＭ＝∠ＡＢＭ，得∠ＣＢＭ＋∠ＢＣＭ＝ ∠ＣＢＭ＋∠ＡＢＭ ＝９０°；（２）构造线段ＦＮ＝２ＢＭ，再证 明△ＢＣＥ≌△ＢＮＦ得ＦＮ＝ＥＣ．再利用全等得对应角相 等，得到∠ＣＨＮ＝∠ＣＢＮ＝９０°． 解：（１）ＣＥ＝２ＢＭ，ＣＥ⊥ＢＭ． （２）（１）中的两个结论仍然成立． 证明：延长ＡＢ至点Ｎ，使ＢＮ＝ ＡＢ，连接ＮＦ，交ＥＣ于点Ｈ，如图２． 由旋转的性质可知，ＢＥ＝ＢＦ， ∠ＥＢＦ＝９０°． 因为四边形 ＡＢＣＤ为正方形， 所以 ∠ＣＢＮ ＝９０°，ＡＢ ＝ＢＣ ＝ ＢＮ． 所以 ∠ＣＢＥ＝∠ＦＢＣ＋９０°， ∠ＮＢＦ＝∠ＦＢＣ＋９０°． 所以∠ＣＢＥ＝∠ＮＢＦ． 在△ＣＢＥ和△ＮＢＦ中， ＢＣ＝ＢＮ， ∠ＣＢＥ＝∠ＮＢＦ， ＢＥ＝ＢＦ { ， 所以△ＣＢＥ≌△ＮＢＦ（ＳＡＳ）． 所以ＮＦ＝ＣＥ，∠Ｎ＝∠ＢＣＥ． 在△ＡＮＦ中，因为Ｂ为ＡＮ中点，Ｍ为ＡＦ中点， 所以ＢＭ是△ＡＮＦ的中位线． 所以ＮＦ＝２ＢＭ，ＮＦ∥ＢＭ．所以ＣＥ＝２ＢＭ． 所以∠ＭＢＡ＝∠Ｎ＝∠ＢＣＥ． 因为∠ＭＢＡ＋∠ＣＢＭ ＝９０°， 所以∠ＥＣＢ＋∠ＣＢＭ ＝９０°．所以ＣＥ⊥ＢＭ． 书书