18.发挥等效法在单摆运动周期问题中的大作用-2020年2月刊高中自主招生《中学生数理化》

发挥等效法在单摆运动周期问题中的大作用 ■殷 伟 观察单摆运动周期公式 T=2π L g 可 以发现,物体做简谐运动的周期与单摆的长 度L、重力场强g 有关联。在物理中经常会 遇到一些类似单摆运动的运动,从中找到与 单摆运动模型的相同之处,采用等效法能够 直接借用单摆周期公式求解周期问题。下面 就来探讨单摆、小车、斜面随机组合构成的类 单摆模型中的周期问题。 一、静止小车内的单摆周期问题 在由车与单摆构成的类单摆运动中,最 简单的一种情景就是小车处于水平面上,由 车和单摆构成的系统不受外力,求此时单摆 周期的问题,则需先借助等效法将等效的摆 长表示出来,然后代入单摆运动的周期公式 中求出周期。 图1 例1 如图1所示,光 滑水平面上静止着质量为 M 的车厢,厢顶悬挂着摆球 质量是 m,摆长是 L 的单 摆,求单摆摆动时的周期。 解析:将车和球视为一 个系统,整个系统所受外力为零,因此系统中 的质心在以地面为参照物的参考系中是一个 定点。在单摆运动中,单摆运动是将其在自 然状态下的竖直位置作为对称中心的,此时 单摆的运动坐标是x=Lsinθ。在本题中,摆 球也将以系统的质心所在的竖直位置为对称 中心,质心在水平方向上与小球的距离x= M m+MLsinθ ,其等效摆长L等效= ML m+M ,所以车 厢内 的 单 摆 的 运 动 周 期 T=2π L等效 g = 2π ML (M+m)g 。 二、运动小车内的单摆周期问题 在由车与单摆构成的类单摆运动中,当 小车以一定的加速度做匀加速直线运动时, 小球相对小车并不是以竖直方向为平衡位置 在做单摆运动,假设出平衡点,并对小球进行 受力分析,求解出等效的加速度是解决此类 单摆周期问题的关键。 图2 例2 如图2所示,一 辆小车在水平面上做匀加 速直线运动,加速度是a。 车内有摆长为 L 的单摆, 小球的质量是m,求单摆的 运动周期。 解析:小球相对小车做单摆运动,但是小 球相对于小车摆动的平衡位置并不在竖直位 置上,不妨将该位置记为A 点,以小车为参考 图3 系,则小球的受力情况如图3所 示。根 据 平 行 法 则 得 F= (mg)2+(ma)2,则等效加速 度g'= F m= g 2+a2,单摆的 运动周期T=2π L g2+a2 。 三、斜面小车内的单摆周期问题 当由车与单摆构成的类单摆装置位于斜 面上运动时,同样需要借助等效转化思想,求 解出与单摆周期有关的等效物理量,转化为 求单摆的周期问题。 图4 例3 如图4所 示,斜面的倾角是α, 质量为 M 的小车在斜 面上无摩擦地加速下 滑,小车上系有摆长为 L,小球质量为 m 的 单摆,且 M≫m,试求单摆在水平面内摆动的 周期。 图5 解析:小车下滑时,摆球的受力 情况如图5所示,等效重力加速度 g'= F m= mgcosα m =gcosα ,所以单 摆在 水 平 面 内 摆 动 的 周 期 T = 2π L gcosα 。 作者单位:江苏省泰兴中学 42 基础物理 名师讲座 自主招生 2020年2月 $$