人教B版高中数学选修2-2 第三章3.1数系的扩充与复数的概念-课件 (3份打包)

3.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.2 复数的概念 【提出问题】 我们知道，方程2x+1=0在自然数系范围内没有解。当我们把数的范围扩充到有理数系以后，方程2x+1=0在有理数范围内，恰有一个解：x=. 方程x2-3=0在有理数系范围内没有解。当我们把数的范围扩充到实数系以后，方程x2-3=0在实数范围内，恰有两个解：x=. 同学们在解一元二次方程的时候会遇到判别式小于零的情况，这时在实数范围内方程无解，其根本原因是任何实数的平方都不可能是负数，这样一元二次方程有的有两个实数解，有的没有实数解。 如此看来，在实数范围内方程解的个数与方程次数的关系并不确定，一个自然的想法是：把实数系扩大，能否使二次方程都有两个解，三次方程都有三个解……。 【解决问题】 为了解决这个问题，人们引进了一个新数，当时人们认为这个新数是一个虚幻的数，便以 “虚数”命名，并以英文字母的字首i表示，虚数i满足i2=-1。 引进了虚数i以后一元二次方程总有两个根： 当时， 当时， 以上方程的根可以统一表示为a+bi（a，b为实数）的形式，由此引出复数的概念，复数的引进实现了人们的一个理想：复系数的一元n次方程，在复数范围内恰有n个根。 【获得新知】 设a，b都是实数，形如 a+bi（a，b∈R） 的数叫做复数，通常用小写字母z表示，即z=a+bi （a，b∈R），其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部，i称为虚数单位。 而当b≠0且a=0时，bi叫做纯虚数。 显然当b=0时，复数就成为实数； 除了实数以外的数，即当b≠0时a+bi叫做虚数， 【获得新知】 全体复数所构成的集合叫做复数集，也称复数系。复数集通常用大写字母C表示。即 C={z|z= a+bi（a，b∈R）} 显然，实数集R是复数集C的真子集. 因此，复数z=a+bi （a，b∈R）可以这样分类： 复数z 由此可见，复数集是实数集的扩充。 【获得新知】 若两个复数a＋bi与c＋di的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等． 记作a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则a＝c且b＝d. 特别地a＋bi＝0，则a＝b＝0. 【经典例题】 例1　当m为何值时，复数z＝＋(m2－7m+10)i， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 解：（1）要使复数z为实数，需满足 所以m＝5， 所以当m＝5时，z是实数． 【规律技巧】根据复数z＝a＋bi是实数、虚数和纯虚数的条件，把问题归结到解方程或解不等式问题，解题过程中应注意数学式子应该有意义. (3) 要使复数z为纯虚数，需满足 所以m＝-6，或m＝－2， 所以当m＝-6，或m＝－2时，z是纯虚数． (2) 要使复数z为虚数，需满足  所以m≠5且m≠2， 所以当m≠5且m≠2时，z是虚数．   【经典例题】 例2 已知x，y是实数，且满足(x-3)＋(x+2y+1)i＝2y－(x+y+2)i，求x与y. 【规律技巧】根据复数相等的定义,可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数.复数相等是实现复数向实数转化的桥梁。 解：根据复数相等的定义，得 解这个方程组，得 【经典例题】 例3 已知x∈C，解方程x2+x+1=0. 解：因为 所以 所以x1=, x2= 【规律技巧】实数集扩充到复数集，一元二次方程总有两个根。 【总结提炼】 高斯把复数和平面上的点一一对应，引进了“复数”这个名词。现在复数已经成为科学技术中普遍应用的一种数学工具。 从16世纪开始，解方程的需要导致复数的形成。 $$3.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.3 复数的几何意义 【提出问题】 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．这说明了我们研究问题时要学会从代数和几何两个方面考虑问题。 我们知道，z=a+bi （a，b∈R）这种代数形式表示复数。 那么，从几何的角度怎样表示复数呢？ 【解决问题】 根据复数相等的定义，复数z=a+bi被一个有序实数对（a，b）所唯一确定， 而每一个有序实数对（a，b），在平面直角坐标系中又唯一确定一点Z（a，b）（或一个向量）。 这就是说每一个复数对应着平面直角坐标系中唯一的一个点（或一个向量）；反过来平面直角坐标系中每一个点（或每一个向量），也对应着唯一的一个有序实数对。 【获得新知】 这样我们通过有序实数对，可以建立复数z=a+bi和点Z（a，b）（或向量）之间的一一对应关系。点Z（a，b）或向量是复数z的几何表示（图一）。 复数z=a+bi有序实数对（a，b）点Z（a，b） 【获得新知】 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。在复平面内x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。x轴的单位是1，y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点（0，0）