人教B版高中数学选修2-2 第三章3.2复数的运算-课件 (3份打包)

3.2 复数的运算 3.2.1 复数的加法与减法 【提出问题】 那么，如何定义复数的加法与减法运算呢？ 建立了复数的概念以后，很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算。 由于实数是复数的一部分，所以建立复数运算时，应当遵循的一个原则是：作为复数的实数，在复数集里的运算和在实数集里的运算应当是一致的。 【获得新知】 设z1=a+bi，z2=c+di,a,b,c,d为实数，定义 z1+z2=( a+bi)+( c+di)=（a+c）+（b+d）i 显然两个复数的和仍然是复数。 容易证明，复数的加法运算，满足交换律，结合律，即对任意的复数z1,z2,z3,有 z1+z2=z2+z1 （z1+z2）+z3=z1+（z2+z3） 【获得新知】 总之，两个复数相加（减），就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加（减）。 可见两个复数的差也是复数。 根据相反数的概念，我们规定两个复数的减法法则如下： z1-z2=( a+bi)-( c+di) =( a+bi)+( -c-di) =（a-c）+（b-d）i 即( a+bi)-( c+di) =（a-c）+（b-d）i 已知复数a+bi，根据加法的定义，存在唯一的复数-a-bi,使 （a+bi）+（-a-bi）=0 -a-bi叫做a+bi的相反数. -a-bi=-（a+bi）。 在复平面内互为相反数的两个复数关于原点对称。 【获得新知】 下面我们来研究复数加减法的几何意义。 前面提到复数可以用向量来表示，因此复数的加减法可以利用向量的加减法来表示。如果两个复数对应的向量共线，可以直接运算。如果两个复数对应的向量不共线，则可以按照平行四边形法则来进行（图一）。 【获得新知】 当与共线时，我们可以画一个“压扁”了的平行四边形，并据此画出它的对角线来表示与的和. 设向量，分别与复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i对应，且与不共线，如图一，以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ表示的向量就是z1＋z2，即z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，对角线Z2Z1表示的向量就是z1－z2，即z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 【概念领悟】 ①共轭复数的加减运算 即两个共轭复数的和为实数，当两个共轭复数的虚部不为零时，它们的差为纯虚数． 【经典例题】 【规律技巧】复数代数形式的运算与多项式的运算类似，可将虚数单位i看成一个字母，然后去括号，合并同类项. 例1　已知复数z1＝3＋10i，z2＝6-7i，求z1 +z2，z1 -z2． 解：z1 +z2=（3＋10i）+（6-7i）=（3＋6）+（10-7）i=13-i z1 -z2=（3＋10i）-（6-7i）=（3-6）+[10-(-7)]i=-3+17i 【经典例题】 例2 如图，在平行四边形OABC中，点A对应复数3+i，点C对应复数1+2i，求点B对应复数及对角线OB的长. 【规律技巧】理解复数加减法的几何意义是求解的关键。 解：设点B对应复数为z. 由复数加法的几何意义，得 z=（3+i）+（1+2i）=4+3i 对角线OB的长即为z的模， 所以对角线OB的长=|z|==5 【经典例题】 例3 设z为复数，且|z-1|＝|z＋1|＝，求z。 解一：设z＝a＋bi(a，b∈R)， ∵z-1＝(a-1)＋bi ,z＋1＝(a＋1)＋bi，且|z|＝|z＋1|＝， ∴ 解方程组，得a=0,b=±2 ∴z=±2i 【经典例题】 解二：因为|z-1|＝|z＋1| 所以点Z到复数1和-1对应点的距离相等。 即点Z的轨迹是复数1和-1对应点的垂直平分线，即y轴 又因为|z-1|＝|z＋1|＝， 所以点Z到复数1和-1对应点距离为（如图二） ∴z=±2i 【规律技巧】|z1-z2|的几何意义是表示复数z1对应的点到复数z2对应的点的距离. 【总结提炼】 在新运算下应该保持原来的运算对象运算后结果与新的运算结果一致。 建立一种新运算时，应当遵循的一个原则是： $$3.2 复数的运算 3.2.2 复数的乘法 【提出问题】 已知复数z1＝1＋2i，z2＝3+i，求z1 +z2，z1 -z2。 z1 +z2=（1＋2i）+（3+i）=（1＋3）+（2+1）i=4+3i z1 -z2=（1＋2i）-（3+i）=（1-3）+[2-(1)]i=-2+i 那么，如何计算z1 ×z2呢？ 【获得新知】 设z1=a+bi，z2=c+di,a,b,c,d为实数，定义z1×z2=( ac-bd)+( ad+bc) i 显然两个复数的积仍然是复数。 根据复数乘法的定义，复数的乘法可以按照多项式乘法的运算方式来实施： z1×z2=（a+bi）（c+di） =( ac-bd)+( ad+bc) i = ac +adi+