人教B版高中数学选修2-2 第三章3.2.2复数的乘法-教案

3.2 复数的运算 3.2.2 复数的乘法 【提出问题】 已知复数z1＝1＋2i，z2＝3+i，求z1 +z2，z1 -z2。 z1 +z2=（1＋2i）+（3+i）=（1＋3）+（2+1）i=4+3i z1 -z2=（1＋2i）-（3+i）=（1-3）+[2-(1)]i=-2+i 那么，如何计算z1 ×z2呢？ 【获得新知】 设z1=a+bi，z2=c+di,a,b,c,d为实数，定义 z1×z2=( ac-bd)+( ad+bc) i 显然两个复数的积仍然是复数。 根据复数乘法的定义，复数的乘法可以按照多项式乘法的运算方式来实施： z1×z2=（a+bi）（c+di） =( ac-bd)+( ad+bc) i = ac +adi+bci+bdi2 其中i2=-1。 容易证明，复数的乘法运算，满足交换律，结合律和乘法对加法的分配律，即对任意的复数z1,z2,z3,有 z1·z2=z2·z1 （z1·z2）·z3=z1·（z2·z3） z1·（z2+z3）=z1·z2+z1·z3 复数的乘方也就是相同复数的乘积。根据乘法的运算律，实数范围内正整指数幂运算律在复数范围内仍然成立。既对复数z,z1,z2和自然数m，n有 zm·zn=zm+n （zm）n=zmn （z1·z2）n= z1 n·z2 n 此外，实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立. 在复数的乘方运算中，经常要计算i的方幂，因此我们要记住以下结果： i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1 i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1. 【经典例题】 例1　已知复数z1＝3＋10i，z2＝6-7i，求z1 ·z2． 解：因为z1 ·z2=（3＋10i）·（6-7i） =18-21i+60i-70i2 =88+39i 所以z1 ·z2=88+39i 【规律技巧】复数的乘法与多项式乘法类似，在计算两个复数相乘时，先按多项式的乘法展开，再将i2换成－1，合并同类项,最后将其化简成a＋bi的形式. 例2 已知z为复数，求证：z·＝|z|2＝| |2 证明：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi， 则z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝|z|2＝| |2. 即z·＝|z|2＝| |2， ∴两个共轭复数的乘积是一个实数，这个实数为这个复数模的平方，也是