人教B版高中数学选修2-2 第三章3.2.3复数的除法-教案

3.2 复数的运算 3.2.3 复数的除法 【提出问题】 已知复数z1＝1＋2i，z2＝3+i，若z1·z=z2，求z。 解：设z=a+bi(a,b∈R), 则z1·z=（1＋2i）·（a+bi）=（a-2b）+（b+2a）i 又因为z1·z=z2 由复数相等的定义，得 解得，a=1,b=-1 所以z=1-i 由此可见，求z的过程比较繁琐。我们知道，实数范围内可以进行除法运算。那么，在复数范围内如何定义除法运算呢？ 【获得新知】 已知z＝a＋bi(a，b∈R)，如果存在一个复数z′，使z·z′＝1，则z′叫做z的倒数，记作. 设,则 （a＋bi）·（x+yi）=1 两边同乘以(a-bi),得 (a-bi) ·（a＋bi）·（x+yi）= a-bi （a2+b2）·（x+yi）= a-bi 因此，x+yi== 即= 显然， 有了倒数的概念，我们就可以规定两个复数除法的运算法则如下: (a＋bi)÷(c＋di)＝== == 其中a，b，c，d∈R. 在实际运算中，我们把商看作分数,分子、分母同乘以分母的共轭复数c-di，把分母变为实数,化简后就可以得到运算结果. ＝＝＝＝＋i(其中z2≠0)． 【经典例题】 例1　已知复数z1＝3＋10i，z2＝6-7i，求的值． 解：因为= 所以 【规律技巧】直接利用复数除法的运算法则，分子、分母同时乘分母的共轭复数来计算． 例2 已知是实数（R是正实数），求复数z对应点在复平面内的轨迹。 解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi， 则 因为是实数， 所以 所以复数z对应点在复平面内的轨迹是实轴去掉原点或以原点为圆心，为半径的圆去掉与实轴的两个交点。 【规律技巧】复数的几何意义，模的几何意义以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现，他们的这种意义架起了联系复数与解析几何、平面几何的桥梁，使得复数问题和几何问题得以相互转化。 【总结提炼】本节课通过实例说明引入复数除法运算的必要性。通过倒数定义除法使复数的除法运算与实数的除法运算保持一致。 $$