人教B版高中数学选修2-2 第三章3.1.1实数系-教案

3.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.1 实数系 【提出问题】 如果我们百度一下：数学是什么？，百度给出的说法是：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看，属于形式科学的一种。 由此可见，数学从开始就要研究数量关系。那么，数学中的“数”是如何演变的呢？ 【解决问题】 1、自然数集 远古的人类，为了适应统计捕获的猎物和采集的野果等方面的需要，采用结绳计数等方法数个数。经历了漫长的岁月，创造了自然数1、2、3、4、……。后来人们把表示“无”的0也归入自然数，这样就形成了自然数集。自然数集也称作自然数系。自然数系是产生其他一切数的源泉，所有其它数系都是由其扩充得到的。 2、分数集 大约在4000年前，在公平分配物质的时候，人们发现自然数不够用了。例如二人平分一个苹果，怎样用数表示这一份呢？ 设m,n(n≠0)是自然数，如果数量a满足 a×n=m 则称a为分数。记作。于是×n=m。 因为除法是乘法的逆运算可知=m÷n。这样，分数是两个自然数之比。 这时的分数集是自然数集的扩充，包括自然数和两个自然数之比。 3、有理数集 2000年前，中国人发现，具有相反意义的两种量，例如收入与支出、上升与下降、入库与出库等等，可用相反数表示，引进了与分数相反的负数。 从解方程的角度，负数是这样引进的。设a是分数，且a不等于零，方程x+a=0在分数范围内无解。为了解决这个矛盾，数的范围必须扩充。我们把方程x+a=0的解叫做a的相反数，并记作-a，这样x=-a便是方程x+a=0的解： （-a）+a=a+（- a）=0. a（两个自然数之比，a≠0）称作正数，其相反数-a称作负数。从此数的范围扩大到包括分数和他们的相反数的新数集——有理数集。有理数集也称作有理数系。有理数实际上是两个整数之比。 有理数有一种简单的几何解释。在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的左端点和右端点分别表示数和，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在的右边，负整数在0的左边。以为分母的分数，可以用每一单位间隔分为等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点（图1）。 图1 有理数的几何解释 4、实数集 大约在公元前5世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派的希帕苏斯（Hippasus）发现了等腰直角三角形的斜边与一直角边之比不能用整数之比表达（图2）。