人教B版高中数学选修2-2 第二章2.3.1数学归纳法-教案

2.3 数学归纳法 2.3.1 数学归纳法 【提出问题】 观察下面几个关系式： 1=12 1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52 1+3+5+7+9+11=36=62 …… 请归纳提出一个一般性的命题。 观察后我们得出：1+3+5+……+（2n-1）=n2。 我们知道归纳推理是合情推理，它可以帮助我们发现规律，但是它不能用来证明数学结论。 那么，我们得到的命题如何证明呢？ 【获得新知】 对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，这种证明方法就叫做数学归纳法． 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1)证明：当n取第一个值n0结论正确； (2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确． 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确． 【概念领悟】 ①第一步验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题意的要求，有时可以为2或3等． ②在利用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，前一步是递推的基础，后一步是递推的依据，这两步缺一不可，缺少哪一步结论也不一定正确． ③在证明n＝k＋1成立时，必须要用到n＝k时成立这个归纳假设，否则推理无法进行或推理无效，这样就不是数学归纳法了. 【经典例题】 例1　用数学归纳法证明：1+3+5+……+（2n-1）=n2 证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1 所以，当n=1时，左边=右边，等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，即 1+3+5+……+（2k-1）=k2 那么，当n=k+1时， 1+3+5+……+（2k-1）+[2（k+1）-1] = k2+[2（k+1）-1] = k2+2k+1 =(k+1) 2 所以当n=k+1时，等式也成立。 由（1）（2）可知，对任何正整数n等式都成立。 实际上，用数学归纳法证明命题的这两个步骤是缺一不可的，特别是步骤（1）往往十分简单，但却是不可忽视的步骤，例如假设n=k时等式 2+4+6+……+2n=n2+n+1 成立，即 2+4+6+……+2k=k2+k+1 成立。那么 2+4+6+……+2k