人教B版高中数学选修2-2 第二章2.3.2数学归纳法应用举例-教案

2.3 数学归纳法 2.3.2 数学归纳法应用举例 【提出问题】 数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。 那么，数学归纳法都能解决哪些类型的问题呢？我们再研究几个用数学归纳法证明的例子。 【经典例题】 例1　在数列{an}中a1=1，当n≥2时，an，Sn，Sn－成等比数列。 （Ⅰ）求a2,a3,a4并猜想an的表达式； （Ⅱ）用数学归纳法证明所得的结论； 解：（Ⅰ）∵an,Sn,Sn－成等比数列 ∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2) (*) 把a1=1,S2=a1+a2=1+a2代入（*）式得：a2=－ 把a1=1,a2=－,S3=+a3代入(*)得：a3=－。 同理可得：a4=－ 由此可以猜想： an= （Ⅱ）（1）当n=1,2时，由（Ⅰ）知猜想成立。 (2)假设n=k(k≥2) 时，ak=－成立。 故Sk2=－·(Sk－) (2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 ∴Sk=或Sk=（舍去） 由Sk+12=ak+1·(Sk+1－)得 (Sk+ak+1)2=ak+1·(ak+1+Sk－) 所以+ak+12+=ak+12+－ak+1 解得ak+1= 即n=k+1时，命题也成立。 由(1)(2)可知，an=对一切正整数成立。 【规律技巧】由于数列问题常常和正整数有关，所以数学归纳法是解决数列的有力工具。 例2 证明凸n边形的对角线的条数f(n)＝n(n－3)(n≥4，n∈N*)． 证明：(1)当n＝4时，f(4)＝×4×(4－3)＝2，凸四边形有两条对角线， 所以当n＝4时命题成立． (2)假设n＝k(k≥4且k∈N*)时命题成立．即凸k边形的对角线的条数 f(k)＝k(k－3)(k≥4)， 当n＝k＋1时，凸(k＋1)边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为Ak＋1，增加的对角线是顶点Ak＋1与k－2个不相邻顶点的连线，再加上A1与Ak的一条连线，共增加了对角线的条数为k－2＋1＝k－1. ∴f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1 ＝ (k2－k－2) ＝ (k＋1)(k－2) ＝ (k＋1)[(k＋1)－3]． 故当n＝k＋1时命题也成立． 由(1)(2)知，对任意n≥4，n∈N*，命题成立． 【规律技巧】用数学归纳法解决几何问题时要结合图形的特点解决问题。 例3　用数学归纳法证明：1＋＋＋