人教B版高中数学选修2-2 第二章2.3数学归纳法-课件 (2份打包)

2.3 数学归纳法 2.3.1 数学归纳法 【提出问题】 观察下面几个关系式： 1=12 1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52 1+3+5+7+9+11=36=62 …… 请归纳提出一个一般性的命题。 观察后我们得出： 那么，我们得到的命题如何证明呢？ 我们知道归纳推理是合情推理，它可以帮助我们发现规律，但是它不能用来证明数学结论。 1+3+5+……+（2n-1）=n2。 【获得新知】 对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，这种证明方法就叫做数学归纳法． 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1)证明：当n取第一个值n0结论正确； (2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确． 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确． 【概念领悟】 ①第一步验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题意的要求，有时可以为2或3等． ②在利用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，前一步是递推的基础，后一步是递推的依据，这两步缺一不可，缺少哪一步结论也不一定正确． ③在证明n＝k＋1成立时，必须要用到n＝k时成立这个归纳假设，否则推理无法进行或推理无效，这样就不是数学归纳法了. 【经典例题】 例1　用数学归纳法证明：1+3+5+……+（2n-1）=n2 证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1 所以，当n=1时，左边=右边，等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，即 1+3+5+……+（2k-1）=k2 那么，当n=k+1时， 1+3+5+……+（2k-1）+[2（k+1）-1] = k2+[2（k+1）-1] = k2+2k+1 =(k+1) 2 所以当n=k+1时，等式也成立。 由（1）（2）可知，对任何正整数n等式都成立。 【经典例题】 实际上，用数学归纳法证明命题的这两个步骤是缺一不可的，特别是步骤（1）往往十分简单，但却是不可忽视的步骤， 例如假设n=k时等式 2+4+6+……+2n=n2+n+1 成立，即 2+4+6+……+2k=k2+k+1 成立。那么 2+4+6+……+2k+2（k+1） = k2+k+1+2（k+1） =( k+1) 2+( k+1)+1 这就是说，如果n=k时等式成立，那么n=k+1时等式也成立。 但是如果仅根据这一步就得出等式对任何正整数都成立的结论，那就错了。 事实上，当n=1时上式左边=2，右边=3，左边≠右边，而且等式对任何n都不成立。 这说明如果缺少步骤（1）这个基础步骤（2）就没有意义了. 【经典例题】 证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”；第二步解决的是延续性问题，又称“归纳递推”． 【规律技巧】 数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善． 【经典例题】 解：（Ⅰ）f(0)=f（0·0）=0·f（0）＋0·f（0）=0． 因为 f(1)=f（1·1）=1·f（1）＋1·f（1） 所以 f(1)=0． 【经典例题】 〕 证明：因为 f（1）=f〔 （Ⅱ）f（x）是奇函数． 因此，f（x）为奇函数． =－f（－1）－f（－1）=0， 所以 f（－1）=0 f（－x）=f（－1·x）=－f（x）＋xf（－1）=－f（x）， 【经典例题】 （Ⅲ）由f（a2）=af（a）＋af（a）=2af（a） ，f（a3）=a2f（a）＋af（a2）=2a2f（a）， 猜测f（an）=nan－1f（a）． 【规律技巧】证明n＝k＋1时命题成立，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当n＝k＋1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性． 【总结提炼】 证明和自然数n有关的命题时可以考虑用数学归纳法。 归纳推理是合情推理。用归纳推理得到的结论不一定正确。 $$2.3 数学归纳法 2.3.2 数学归纳法应用举例 【提出问题】 那么，数学归纳法都能解决哪些类型的问题呢？我们再研究几个用数学归纳法证明的例子。 数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。 【经典例题】 例1　在数列{an}中a1=1，当n≥2时，an，Sn，Sn－ 成等比数列。 （Ⅱ）用数学归纳法证明所得的结论； （Ⅰ）求a2,a3,a4并猜想an的表达式； 【经典例题】 （Ⅱ）（1）当n=1,2时，由（Ⅰ）知猜想成立。 【规律技巧】由于数列问题常常和正整数有关，所以数学归纳法