微专题11 函数的零点性质问题-2020年高考数学二轮复习高频考点一遍清

微专题十一 函数的零点性质问题 一、基础知识： 1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点： （1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点 （2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫 （3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。 三者转化：函数的零点方程的根方程的根函数与的交点 2、此类问题的处理步骤： （1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像 （2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围 （3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值， 3、常见处理方法： （1）代换法：将相等的函数值设为，从而用可表示出，将关于的表达式转化为关于的一元表达式，进而可求出范围或最值 （2）利用对称性解决对称点求和：如果关于轴对称，则；同理，若关于中心对称，则也有。将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系 二、典型例题： 例1：已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【名师点睛】：（1）此类问题如果图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点 （2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量，从而用表示出，达到消元效果，但是要注意是有范围的（通过数形结合需与有两交点）；一个是通过图像判断出的范围，从而去掉绝对值。 例2：已知函数 ，若有三个不同的实数，使得 ，则的取值范围是________ 【名师点睛】：本题抓住关于对称是关键，从而可由对称求得，使得所求式子只需考虑的范围即可 例3：定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 例4：已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 例5：已知函数有两个不同的零点，则（ ） A. B. C. D. 例6：已知函数，存在，，则的最大值为 例7：已知定义在上的函数满足： ，且，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ） A. B. C. D. 例8：函数，直线与函数的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为，有以下四个结论 ① ② ③ ④ 若关于的方程恰有三个不同实根，则的取值唯一 则其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 例9：已知函数，若，且，则的值（ ） A. 恒小于2 B. 恒大于2 C. 恒等于2 D. 与相关 例10：定义函数，则函数在区间（）内的所有零点的和为（ ） A． B． C． D． 【名师点睛】：（1）本题考查了合理将轴划分成一个个区间，其入手点在于的出现，体现了横坐标之间2倍的关系，从而所划分的区间长度成等比数列。 （2）本题有一个易错点，即在作图的过程中，没有发现恰好与相交在极大值点处，这一点需要通过计算得到：当时，，从而归纳出规律。所以处理图像交点问题时，如果在某些细节很难通过作图直接确定，要通过函数值的计算来确定两图像的位置 三、近年模拟题题目精选 1、（2019四川高三第一次联考）已知函数，若存在，当时，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2、（2019，苏州高三调研）已知函数有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为，则_________ 3、已知函数的零点分别为，则的大小关系是_______ 4、已知函数的零点为，有使得，则下列结论不可能成立的是（ ） A. B.