微专题13 利用数学模型解决实际问题-2020年高考数学二轮复习高频考点一遍清

微专题十三 利用数学模型解决实际问题 一、基础知识： 1、使用函数模型解决实际问题 （1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表示）。以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值 （2）需用到的数学工具与知识点： ① 分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示。 ② 导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则可利用导数分析其单调性，进而求得最值 ③ 均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值。 ④ 分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函数求解 （3）常见的数量关系： ① 面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如： 平行四边形面积底高 梯形面积（上底下底）高 三角形面积底高 ② 商业问题： 总价单价数量 利润营业额成本货物单价数量成本 ③ 利息问题： 利息本金利率 本息总和本金利息本金利率本金 （4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变量应取正整数。涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数。 2、使用线性规划模型解决实际问题 （1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题 （2）与函数模型的不同之处 ① 函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围（或最值） ② 线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的最值。 （3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示），并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决 （4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小 3、使用三角函数模型解决实际问题 （1）题目特点：题目以几何图形（主要是三角形）作为基础，条件多与边角相关 （2）需要用到的数学工具与知识点： ① 正弦定理：设三边所对的角分别为，则有 ② 余弦定理（以和对角为例）， ③ 三角函数表达式的化简与变形 ④ 函数的值域 （3）解题技巧与注意事项： ① 在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中 ② 在直角三角形里，已知一条边，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示 ③ 在图形中要注意变量的取值范围 二、典型例题： 例1：如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在 的延长线上，在的延长线上，且对角线过 点。已知米，米。 （1）设（单位：米），要使花坛的面积大于32平方米，求的取值范围； （2）若（单位：米），则当的长度分别是多少时，花坛的面积最大？并求出最大面积。 例2：时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格:（单位：元/套）满足的关系式，其中为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套． （1）求的值； （2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数） 例3：某人销售某种商品，发现每日的销售量（单位：kg）与销售价格 （单位：元/kg）满足关系式，其中 为常数.已知销售价格为8元/kg时，该日的销售量是80kg. （1）求的值； （2）若该商品成本为6元/kg，求商品销售价格为何值时，每日销售该商品所获得的利润最大. 例4：已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为元/千克，每次购买配料需支付运费236元，每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量度搜好，均按10元/天支付，超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付 （1）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用是多少元？ （2）设该厂天购买一次配料，求该厂在这天中用于配料的总费用（元）关于的函数关系式，并求出该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少 例5：甲，乙两校计划周末组织学生参加敬老活动，甲校每位同学的往返车费是5元，每人可为3位老人服务