微专题15 求函数的单调区间-2020年高考数学二轮复习高频考点一遍清

微专题十五 求函数的单调区间 单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。 一、基础知识： 1、函数的单调性：设的定义域为，区间，若对于，有，则称在上单调递增，称为单调递增区间。若对于，有，则称在上单调递减，称为单调递减区间。 2、导数与单调区间的联系 （1）函数在可导，那么在上单调递增 此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。 等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：的单调递增区间为，而，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为在处的导数为0，但是位于单调区间内。 （2）函数在可导，则在上单调递减 （3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由的符号能否推出在的单调性呢？如果不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。（这也是求函数单调区间的理论基础） 3、利用导数求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域 （2）求出的导函数 （3）令（或），求出的解集，即为的单调增（或减）区间 （4）列出表格 4、求单调区间的一些技巧 （1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）。另一方面通过定义域对取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解 （2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式 （3）一般可令，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤） （4）若的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若的解集为，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么是定义域上的减函数 （5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方法也依然好用，例如：增+增→增，减+减→减，增→减，复合函数单调性同增异减等。如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定。 5、求单调区间的一些注意事项 （1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内。例如函数的单调减区间为，若写成就出错了（0不在定义域内） （2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集的符号。有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的。并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题。依然以为例，如果写成，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变量，满足单调减的条件。由性质可知，如果在两个区间里各取一个，是不满足单调减的性质的。 6、二阶导函数的作用： ①几何意义：导数的符号决定原函数的单调性，对于而言，决定的是的单调性。当时，单调递增，意味着随的增大而增大，由于导数的几何意义为切线斜率，故切线斜率随的增大而增大；同理，当时，单调递减，则切线斜率随的增大而减少。那么在图像上起到什么作用呢？ 单调增有三种： 其不同之处在于切线斜率随自变量变大的变化不同，所以如果说是决定函数单调性的，那么在已知单调性的前提下，能够告诉我们是怎样增，怎样减的，进而对作图的精细化提供帮助。 （1）当，其图像特点为： 我们称这样的函数为下凸函数 （2）当，其图像特点为： 我们称这样的函数为上凸函数 ②代数意义：当通过无法直接判断符号时，可通过二阶导函数先确定一阶导函数的单调性，再看能否利用条件判断符号。 二、典型例题： 例1：下列函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 例2：函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 例3：求函数的单调区间（2009宁夏，21题（1）） 例4：求函数的单调区间 例6：求函数的单调区间 【名师点睛】：（1）对于含绝对值的函数，可通过对绝对值内表达式的符号进行分类讨论可去掉绝对值，从而将函数转变为一个分段函数。 （2）本题在时，利用之前所学知识可直接判断出单调递减，从而简化步骤。导数只是分析函数单调性的一个工具，若能运用以前所学知识判断单调性，则直接判断更为简便 例7：（1）若函数在区间单调递增，则的取值集合是__________ （2）若函数的递增区间是，则的取值集合是___________ 【名师点睛】：注意两问的不同之处，在（1）中，只是说明在区间单调递增，那么也可以在其