微专题17 函数的极值问题-2020年高考数学二轮复习高频考点一遍清

微专题十七 函数的极值问题 一、基础知识： 1、函数极值的概念： （1）极大值：一般地，设函数在点及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有，就说是函数的一个极大值，记作，其中是极大值点 （2）极小值：一般地，设函数在点及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有，就说是函数的一个极小值，记作，其中是极小值点 极大值与极小值统称为极值 2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： （1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值 （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 3、极值点的作用： （1）极值点为单调区间的分界点 （2）极值点是函数最值点的候选点 4、费马引理：在处可导，那么为的一个极值点 说明：①前提条件：在处可导 ②单向箭头：在可导的前提下，极值点导数，但是导数不能推出为的一个极值点，例如：在处导数值为0，但不是极值点 ③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：在处不可导，但是为函数的极小值点） 5、求极值点的步骤： （1）筛选： 令求出的零点（此时求出的点有可能是极值点） （2）精选：判断函数通过的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点 （3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点 6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。 7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题。但要注意检验零点能否成为极值点。 8、极值点与函数奇偶性的联系： （1）若为奇函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极小（极大）值点 （2）若为偶函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极大（极小）值点 二、典型例题： 例1：求函数的极值. 【名师点睛】：（1）求极值时由于要判定是否为极值点以及极大值或极小值，所以可考虑求函数的单调区间，进而在表格中加入一列极值点，根据单调性即可进行判断 （2）在格式上有两点要求：第一推荐用表格的形式将单调区间与极值点清晰地表示出来，第二在求极值点时如果只有一个极大（或极小）值点，则需说明另一类极值点不存在 例2：求函数的极值。 【名师点睛】：本题若使用解极值点，则也满足，但由于函数通过这两个点时单调性没有发生变化，故均不是极值点。对比两个方法可以体会到求极值点归根结底还是要分析函数的单调区间 例3：求函数在上的极值 【名师点睛】：在本题中如果仅令，则仅能解得这一个极值点，进而丢解。对于与，实质上在这两点处没有导数，所以在中才无法体现出来，由此我们可以得到以下几点经验 （1）利用来筛选极值点的方法在有些特殊函数中会丢解，此类点往往是不存在导函数的点。例如：中的，是极值点却不存在导数 （2）在寻找极值点时，若能求出的单调区间，则利用单调区间求极值点是可靠的 例4：已知函数，在点处有极小值，试确定的值，并求出的单调区间。 【名师点睛】：关注“在点处有极小值”，一句话表达了两个条件，作为极值点导数等于零，作为曲线上的点，函数值为1，进而一句话两用，得到关于的两个方程。 例5：若函数在时有极值，则_________ 【名师点睛】：对于使用极值点条件求参数值时，求得结果一定要代回导函数进行检验，看导数值为0的点是否是极值点 例6：在处有极小值，则实数为 . 【名师点睛】：在已知极值点求参数范围时，考虑利用极值点导数值等于零的条件，但在解完参数的值后要进行检验，主要检验两个地方：① 已知极值点是否仍为函数的极值点 ② 参数的值能否保证极大值或极小值点满足题意。 例7： （1）已知函数有两个极值点，则的取值范围是___________ （2）已知函数存在极值点，则的取值范围是_________ 【名师点睛】：本题有以下几个亮点 （1）在考虑存在极值点和极值点个数时，可通过导数转化成为方程的根的问题，使得解决方法多样化，可与函数零点和两图象的交点找到关系 （2）方程根的个数并不一定等于极值点的个数，所以要判断函数在通过该点时单调性是否发生了变化 （3）本题两问结果相同，是由导函数方程为二次方程，其时，其根不能作为极值点所