微专题20 恒成立问题之数形结合法-2020年高考数学二轮复习高频考点一遍清

微专题二十 恒成立问题之数形结合法 一、基础知识： 1、函数的不等关系与图像特征： （1）若，均有的图像始终在的下方 （2）若，均有的图像始终在的上方 2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数 3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等 4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化） 5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备 6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点： （1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图 （2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义 （3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征 二、典型例题： 例1：已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________ 【名师点睛】：（1）通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围。 （2）学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的） （3）处理好边界值是否能够取到的问题 例2：若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是___________ 例3：若不等式对任意恒成立，求的取值范围 【名师点睛】：在本题中参数的作用是决定图像平移变换的程度，要抓住参数在图像中的作用，从而在数形结合中找到关于参数的范围要求 例4：若,不等式恒成立,则的取值范围是______ 【名师点睛】：（1）对于不等式，每个字母的地位平等，在构造函数时哪个字母的范围已知，则以该字母作为自变量构造函数。 （2）线段的图像特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧。 （3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与端点同侧 例5：已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_____________ 【名师点睛】：本题也可以用最值法求解：若，则，而是开口向上的抛物线，最大值只能在边界处产生，所以，再解出的范围即可 例6：已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是_____________ 【名师点睛】：（1）注意本题中“恒成立问题”的隐含标志：子集关系 （2）注意函数奇偶性对作图的影响 （3）本题中参数扮演两个角色：① 二次项系数——决定抛物线开口，② 决定二次函数对称轴的位置； ③ 图像变换中决定平移的方向与幅度，所以要进行符号的分类讨论。 例7：已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________ 【名师点睛】：原不等式无法直接作出图像，则考虑先变形再数形结合，其原则为两个函数均可进行作图。 例8：设，若时均有，则_________ 【名师点睛】：（1）在处理不等式的问题时要有两手准备，一是传统的代数方法，二是通过数形结合的方式。要根据题目选择出合适的方法。对于数形结合而言，要求已知条件与所求问题都具备一定的图像特征。所以在本题中一旦确定了使用图像，则把条件都翻译为图像上的特点。 （2）本题中隐藏的公共定点是本题的一个突破口，这要求我们对于含参的函数（尤其是直线），要看是否具备过定点的特征。 例9：(2019山东烟台高三一模）已知，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 例10：已知函数是定义在上的奇函数，当时， ，若，则实数的取值范围是_____________ ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 微专题二十 恒成立问题之数形结合法 一、基础知识： 1、函数的不等关系与图像特征： （1）若，均有的图像始终在的下方 （2）若，均有的图像始终在的上方 2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数 3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等 4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化） 5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备 6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点： （1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图 （2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义 （3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征 二、典型例题： 例1：已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________ 【答案】： 【思路与解析】：本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出的图像，观察图像可得：