微专题02 充分条件与必要条件-2020年高考数学二轮复习高频考点一遍清

微专题二 充分条件与必要条件 一、基础知识 1、定义： （1）对于两个条件，如果命题“若则”是真命题，则称条件能够推出条件，记为， （2）充分条件与必要条件：如果条件满足，则称条件是条件的充分条件；称条件是条件的必要条件 2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判断时既要判断“若则”的真假，也要判断“若则”真假 3、两个条件之间可能的充分必要关系： （1）能推出，但推不出，则称是的充分不必要条件 （2）推不出，但能推出，则称是的必要不充分条件 （3）能推出，且能推出，记为，则称是的充要条件，也称等价 （4）推不出，且推不出，则称是的既不充分也不必要条件 4、如何判断两个条件的充分必要关系 （1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。例如，构造命题：“若，则”为真命题，所以，但“若，则”为假命题（还有可能为），所以不能推出；综上，是的充分不必要条件 （2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系 ① 充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由就可以得到结论，而不需要再添加任何说明与补充。以上题为例，对于条件，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到所以可以说对是“充分的”，而反观对，由，要想得到，还要补充一个前提：不能取，那既然还要补充，则说明是“不充分的” ② 必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。仍以上题为例：如果不成立，那么必然不为1，但是仅靠想得到也是远远不够的，还需要更多的补充条件，所以仅仅是“必要的” （3）运用集合作为工具 先看一个问题：已知 ,那么条件“”是“”的什么条件？ 由可得到：，且推不出，所以“”是“”充分不必要条件。通过这个问题可以看出，如果两个集合存在包含关系，那么其对应条件之间也存在特定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合，判断出两个集合间的包含关系，进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下： ① ：是的充分不必要条件，是的必要不充分条件 ② ：是的充分条件 ③ ：是的充要条件 此方法适用范围较广，尤其涉及到单变量取值范围的条件时，不管是判断充分必要关系还是利用关系解参数范围，都可将问题转化为集合的包含问题，进而快捷求解。例如在中，满足的取值集合为，而满足的取值集合为 所以，进而判断出是的充分不必要条件 5、关于“”的充分必要关系：可从命题的角度进行判断。例如：是的充分不必要条件，则命题“若，则”为真命题，根据四类命题的真假关系，可得其逆否命题“若，则”也为真命题。所以是的充分不必要条件 二、典型例题： 例1：已知，则是的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 例2：已知，那么是的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【名师点睛】：（1）如果所给条件不方便直接判断，那么可以寻找它们的等价条件（充要条件），再进行判断即可 （2）在推中，因为是条件，表达式成立要求，但是在推中，是条件，且对取值没有特殊要求，所以，那么作为结论的就不一定有意义了。在涉及到变量取值时要首先分清谁是条件，谁是结论。作为条件的一方默认式子有意义，所以会对变量取值有一定的影响。 例3：已知，如果是的充分不必要条件，则的取值范围是_____ 例4：下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（ ） A. B. C. D. 例5：（2019浙江温州中学高二期中考试）设集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 例6：对于函数，“的图象关于轴对