微专题03 利用数轴解决集合运算问题-2020年高考数学二轮复习高频考点一遍清

微专题三 利用数轴解决集合运算问题 数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，图形与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交并运算。 一、基础知识： 1、集合运算在数轴中的体现： 在数轴上表示为表示区域的公共部分 在数轴上表示为表示区域的总和 在数轴上表示为中除去剩下的部分（要注意边界值能否取到） 2、问题处理时的方法与技巧： （1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系 （2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。 （3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域。交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域 （4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可 3、作图时要注意的问题： （1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察 （2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。 二、例题精析： 例1：集合，则=_______ 例2：设集合，则的取值范围是____ 【名师点睛】：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定区间的端点 （2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像，再按要求放置含参的集合 （3）注意考虑端点处是否可以重合，通常采取验证的方法，本题若或，则端点处既不在里，也不在里，不符题意。 例3：对于任意的，满足恒成立的所有实数构成集合，使不等式的解集是空集的所有实数构成集合，则______ 【名师点睛】：本题更多考察的地方在于集合的求解。集合要注意的情况，而不能默认为二次不等式，集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转化。在集合进行交并运算时，数轴将成为一个非常直观的工具，作图时要注意端点值的开闭。 例4：已知集合，若，则实数的取值范围为 例5：已知，当“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是__________ 【名师点睛】：1、熟悉充分必要条件与集合的联系：是的充分不必要条件对应集合是对应集合的真子集 2、处理含参问题时，秉承“先常数再参数”的顺序分析，往往可利用所得条件对参数范围加以限制，减少分类讨论的情况。例如在本题中，若先处理，则解不等式面临着分类讨论的问题。但先处理之后，结合数轴会发现只有图中一种情况符合，减掉了无谓的讨论。 例6：已知函数，对，使得成立，则实数的取值范围是__________ 例7：已知集合，若，则________ 例8：设， ，求 例9：在上定义运算，若关于的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 例10：已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、近年高考真题与模拟题题目精选： 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合，则= A． B． C． D． 【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设集合A={x|x2–5x+6>0}，B={x|x–1<0}，则A∩B= A．(–∞，1) B．(–2，1) C．(–3，–1) D．(3，+∞) 【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合，则 A． B． C． D． 【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 4．【2019年高考天津理数】设集合，则 A． B． C． D． 【名师点睛】集合的运算问题，一般要先