微专题06 函数的图像-2020年高考数学二轮复习高频考点一遍清

微专题六 函数的图像 一、基础知识 1、做草图需要注意的信息点： 做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点。 （1）一次函数：,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线 特点：两点确定一条直线 信息点：与坐标轴的交点 （2）二次函数：，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图像，另一侧由对称性可得。函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图像更为精确 特点：对称性 信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点 （3）反比例函数：,其定义域为，是奇函数，只需做出正版轴图像即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线 特点：奇函数（图像关于原点中心对称），渐近线 信息点：渐近线 注： （1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，轴是渐近线，那么当，曲线无限向轴接近，但不相交，则函数在正半轴就不会有轴下方的部分。 （2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若（或）时，常数，则称直线为函数的水平渐近线 例如： 当时，，故在轴正方向不存在渐近线 当时，，故在轴负方向存在渐近线 （3）竖直渐近线的判定：首先在处无定义，且当时，（或），那么称为的竖直渐近线 例如：在处无定义，当时，，所以为的一条渐近线。 综上所述：在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图像中：与坐标轴的交点；对称轴与对称中心；极值点；渐近线。 例：作出函数的图像 分析：定义域为，且为奇函数，故先考虑正半轴情况。 故函数单调递增，，故函数为上凸函数，当时，无水平渐近线，时，，所以轴为的竖直渐近线。零点：，由这些信息可做出正半轴的草图，在根据对称性得到完整图像： 2、函数图象变换：设函数，其它参数均为正数 （1）平移变换： ：的图像向左平移个单位 ：的图像向右平移个单位 ：的图像向上平移个单位 ：的图像向下平移个单位 （2）对称变换： ：与的图像关于轴对称 ：与的图像关于轴对称 ：与的图像关于原点对称 （3）伸缩变换： ：图像纵坐标不变，横坐标变为原来的 ：图像横坐标不变，纵坐标变为原来的 （4）翻折变换： ：即正半轴的图像不变，负半轴的原图像不要，换上与正半轴图像关于轴对称的图像 ：即轴上方的图像不变，下方的图像沿轴对称的翻上去。 3、二阶导函数与函数的凹凸性： （1）无论函数单调增还是单调减，其图像均有3种情况， 若一个函数的增减图像为则称函数为下凸函数 若一个函数的增减图像为则称函数为上凸函数 （2）上凸函数特点：增区间增长速度越来越慢，减区间下降速度越来越快 下凸函数特点：增区间增长速度越来越快，减区间下降速度越来越慢 （3）与导数的关系：设的导函数为（即的二阶导函数），如图所示：增长速度受每一点切线斜率的变化情况的影响，下凸函数斜率随的增大而增大，即为增函数；上凸函数随的增大而减小，即为减函数； 综上所述：函数是上凸下凸可由导函数的增减性决定，进而能用二阶导函数的符号进行求解。 二、方法与技巧： 1、在处理有关判断正确图像的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找四个选项的不同，再结合函数的性质即可进行排除，常见的区分要素如下： （1）单调性：导函数的符号决定原函数的单调性，导函数图像位于轴上方的区域表示原函数的单调增区间，位于轴下方的区域表示原函数的单调减区间 （2）函数零点周围的函数值符号：可通过带入零点附近的特殊点来进行区分 （3）极值点 （4）对称性（奇偶性）——易于判断，进而优先观察 （5）函数的凹凸性：导函数的单调性决定原函数的凹凸性，导函数增区间即为函数的下凸部分，减区间为函数的上凸部分。其单调性可由二阶导函数确定 2、利用图像变换作图的步骤： （1）寻找到模板函数（以此函数作为基础进行图像变换） （2）找到所求函数与的联系 （3）根据联系制定变换策略，对图像进行变换。 例如：作图： 第一步寻找模板函数为： 第二步寻找联系：可得 第三步制定策略：由特点可得：先将图像向左平移一个单位，再将轴下方图像向上进行翻折，然后按照方案作图即可 3、如何制定图象变换的策略 （1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内