微专题07 分段函数的性质及应用-2020年高考数学二轮复习高频考点一遍清

微专题七 分段函数的性质与应用 分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。即“分段函数——分段看” 一、基础知识： 1、分段函数的定义域与值域——各段的并集 2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。 3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。如果不便作出，则只能通过代数方法比较的关系，要注意的范围以代入到正确的解析式。 4、分段函数分析要注意的几个问题 （1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。否则是断开的。例如：，将代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。再比如 中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。 （2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。例如：，可转化为： 5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论 6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。 二、典型例题 例1：已知函数，若，则实数_____ 例2：设函数，则的值为_________ 【名师点睛】：含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）比如在本题中：可以立即为间隔为1的自变量，函数值差1，其作用在于自变量取负数时，可以不断直至取到正数。理解到这两点，问题自然迎刃而解。 例3：函数，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 例4：已知函数，则不等式的解集是________ 例5：已知函数，则不等式的解集为___________ 【名师点睛】：含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解(比如例3，例4）。另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式（比如例5）。 例6：已知函数.若，则的取值范围是 A． B． C． D． 【名师点睛】： （1）本题判断函数的奇偶性可以简化运算，而想到这一点是源于抓住所解不等式中的特点。由此可见，有些题目的思路源于式子中的一些暗示 （2）由于两段图像均易作出，所以在判断奇偶性时用的是图像法。对于某些不易作图的分段函数，在判断奇偶性时就需要用定义法了，下面以本题为例说说定义法如何判断：整体思想依然是找到 ，只是在代入过程中要注意的范围：设，则，，所以，即为偶函数 例7：已知函数，若，则的值域是_______________ 例8：已知函数，若在单调递增，则实数的取值范围是_________ 例9：已知，则下列选项错误的是（ ） A. ①是的图像 B. ②是的图像 C. ③是的图像 D. ④是的图像 例10：函数 ，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上为增函数 B. 函数的最小正周期为4 C. 函数是奇函数 D. 函数无最小值 【名师点睛】：（1）本题利用数形结合是最为简便的方法，一方面是因为本身便于作图，另一方面四个选项在图上也有具体的含义。 （2）分段函数作图过程中，尤其在函数图象断开时，一定要注意端点处属于哪个解析式。本题中就属于部分，所以才存在最小值。 三、近年模拟题题目精选 1、【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D． 2、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A．[–1，0）