微专题08 函数方程问题的分析策略-2020年高考数学二轮复习高频考点一遍清

微专题八 函数方程问题的分析策略 一、基础知识： 1、函数方程：含有未知函数的等式叫做函数方程，例如：都可称为函数方程。在高中阶段，涉及到函数方程有以下几个类型： （1）表示函数的某种性质：例如体现是偶函数；体现是周期为1的周期函数（可详见“函数对称性与周期性”一节） （2）可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式：例如：，可用代替得，即 （3）函数方程也是关于变量的恒等式，所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值 2、双变量函数方程的赋值方法： （1）对均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如，在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域。 （2）其中某一个变量不变，另一个赋特殊值，可得到单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质 3、常见函数所符合的函数方程：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程 （1）： （2）： （3）① 当时，： ②当时，： 二、典型例题 例1：已知函数对任意的均有，且当时， （1）求证：为奇函数 （2）求证：为上的增函数 【名师点睛】：第（2）问将拆分为是本题证明的亮点，达到了让与分居等号的两侧的目的 例2：已知定义在上的函数，对于任意实数都满足，且，当时， （1）求的值 （2）求证：在上是增函数 （3）求不等式：的解集 例3：定义在的函数满足关系，当时，，若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【名师点睛】：本题在证明单调性时，因为考虑了中自变量的取值，所以只需考虑的单调性，缩小的范围使得判断的范围较容易。但也可将在中任取，但是在判断的范围会比较复杂，可利用不等式的等价变形来证： 假设，因为 且 由可得成立，从而 例4：函数的定义域为，满足，在区间上单调递增，若满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例5：设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为 例6：定义在上的函数满足：对于任意的，有，且时，有，设的最大值和最小值分别为，则的值为（ ） A. B. C. D. 例7：已知函数满足：，对任意实数都有，则（ ） A. B. C. D. 例8：已知是定义在上的函数，，且对任意的，都有，那么 __________ 例9：设函数的定义域为，，且对，都有，则的解析式为________ 例10：已知函数是定义在上不恒为的函数，且对于任意的实数满足， ，，考察下列结论： ① ②为奇函数 ③数列为等差数列 ④数列为等比数列，其中正确的个数为( ) A． B． C． D． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 微专题八 函数方程问题的分析策略 一、基础知识： 1、函数方程：含有未知函数的等式叫做函数方程，例如：都可称为函数方程。在高中阶段，涉及到函数方程有以下几个类型： （1）表示函数的某种性质：例如体现是偶函数；体现是周期为1的周期函数（可详见“函数对称性与周期性”一节） （2）可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式：例如：，可用代替得，即 （3）函数方程也是关于变量的恒等式，所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值 2、双变量函数方程的赋值方法： （1）对均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如，在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域。 （2）其中某一个变量不变，另一个赋特殊值，可得到单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质 3、常见函数所符合的函数方程：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程 （1）： （2）： （3）① 当时，： ②当时，： 二、典型例题 例1：已知函数对任意的均有，且当时， （1）求证：为奇函数 （2）求证：为上的增函数 （1）【思路与解析】：要证明奇函数，则需要出现在同一等式中，所以考虑令，则有，再通过代入特殊值计算出即可 解：（1）令，则 令，则解得 为奇函数 （2）【思路】：要证明单调递增，则需任取，且，去证明与的大小，结合等式，则需要让与分居等号的两侧，才能进行作差。所以考虑，进而。只需判断的符号即可 【解析】：任取