微专题09 函数零点的判定与证明-2020年高考数学二轮复习高频考点一遍清

微专题九 函数零点的判定与证明 一、基础知识： 1、函数的零点：一般地，对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点。 2、零点存在性定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得 注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在 3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调 4、几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续） （1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图像，如果单调，则“一定”只有一个零点 （2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点 （3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。如果单调，则一定小于0 5、零点与单调性配合可确定函数的符号：是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时， 6、判断函数单调性的方法： （1）可直接判断的几个结论： ① 若为增（减）函数，则也为增（减）函数 ② 若为增函数，则为减函数；同样，若为减函数，则为增函数 ③ 若为增函数，且，则为增函数 （2）复合函数单调性：判断的单调性可分别判断与的单调性（注意要利用的范围求出的范围），若，均为增函数或均为减函数，则单调递增；若，一增一减，则单调递减（此规律可简记为“同增异减”） （3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像 7、证明零点存在的步骤： （1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数 （2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 （3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 （4）利用零点存在性定理证明零点存在 例1：函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 例2：函数的零点所在的大致区间是（ ） A. B. C. D. 【名师点睛】：（1）本题在处理时，是利用对数的性质得到其的一个趋势，从而确定符号。那么处理零点问题遇到无法计算的点时也要善于估计函数值的取向。 （2）本题在估计出时，后，也可举一个具体的函数值为负数的例子来说明，比如。正是在已分析清楚函数趋势的前提下，才能保证快速找到合适的例子。 例3：（2019，浙江模拟）已知是函数的一个零点，若，则（ ） A. B. C. D. 例4：已知函数，当时，函数的零点，则________ 例5：定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若的“新驻点”分别为，则（ ） A. B. C. D. 例6：若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过， 则可以是（ ） A． B． C． D． 例7：设函数，若实数分别是的零点，则（ ） A. B. C. D. 例8：已知定义在上的函数，求证：存在唯一的零点，且零点属于 【名师点睛】：如果函数在单调递增，则在中，，即函数值与自变量一一对应。在解答题中常用这个结论证明零点的唯一性 例9：（2019年，天津模拟）已知，函数（的图像连续不断） （1）求的单调区间 （2）当时，证明：存在，使得 【名师点睛】：（1）在证明存在某个点的函数值与常数相等时，往往可以将常数挪至函数的一侧并构造函数，从而将问题转化成为证明函数存在零点的问题。 （2）本题在寻找小于零的点时，先观察表达式的特点：，意味着只要取得足够大，早晚比要大的多，所以只需要取较大的自变量便可以找到的点。选择也可，选择等等也可以。 例10：已知函数，其中常数，若有两个零点，求证： ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 微专题九 函数零点的判定与证明 一、基础知识： 1、函数的零点：一般地，对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点。 2、零点存在性定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得 注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在 3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因