人教B版高中数学选修2-2 第二章2.2.1综合法与分析法-教案

2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法与分析法 【提出问题】 我们知道合情推理是一种含有较多猜想成分的推理，它有助于发现新的规律和事实。在数学中，通过合情推理得到的命题的真实性，需要经过证明来确立。数学证明实际上由一系列的演绎推理所组成的。在实际问题的解决过程中合情推理和演绎推理紧密联系相辅相成。 那么应用演绎推理有哪些直接的证明方法和间接的证明方法呢？ 【获得新知】 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理直接推证结论的真实性。 常用的直接证明方法有综合法与分析法。 综合法是从原因推导到结果的思维方法，而分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法。 （1）综合法 综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论。 其逻辑关系是 A(已知)⇒B1⇒B2⇒B3⇒…⇒Bn－1⇒Bn⇒B(结论)， 其思路是“执因索果”，即从“已知”推导出已知的“性质”，从而逐步推向“未知”． （2）分析法 分析法则是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实。 其逻辑关系为 B(结论)⇐B1⇐B2⇐B3⇐……⇐Bn－1⇐Bn⇐A(已知)， 其证明思路是“执果索因”，即结论寻求条件，逐渐向已知靠拢． 【概念领悟】 ①分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述繁琐，且容易出错．综合法条理清晰，宜于表述，缺点是探路艰难，易生枝节． ②在实际解题时，常把二者交互使用，互补优缺，形成了分析综合法．先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程． ③对于较复杂的问题，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，则原命题得证. 【经典例题】 例1　已知、、为正数，求证： 证：要证： 只需证： 即： ∵ 成立 ∴ 原不等式成立 【规律技巧】在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实，因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略。 例2　设a>0, b>0，且a + b = 1，求证： 证明：∵ ∴ ∴ ∴ 【规律技巧】综合法的证明就是从已知条件出发，进行简单的运算和推理，得到要证明的结论，其中要用到一些已经证明的命题。 例3 已知数集A