人教B版高中数学选修2-2 第二章2.2.2反证法-教案

2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法 【提出问题】 对于一个命题，如果直接证明比较困难，这时我们可以通过间接证明的方法来解决。 那么间接的证明方法有哪些呢？ 【获得新知】 一般地，由证明p⇒q转向证明： ⇒r⇒…⇒t. t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定为假，推出q为真的方法，叫做反证法． 反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，再否定结论的基础上，运用演绎推理导出矛盾，从而肯定结论的真实性。 【概念领悟】 ①反证法证明过程中推出的“矛盾”： （1）与假设矛盾； （2）与公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾； （3）与公认的简单事实矛盾． ②反证法的证明步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）做出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾结果的原因，在于开始做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 【经典例题】 例1　设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于 证：假设(1 a)b >, (1 b)c >, (1 c)a >, 则三式相乘： (1 a)b•(1 b)c•(1 c)a > 又∵0 < a, b, c < 1 ∴ 同理， 三式相乘，得(1 a)b•(1 b)c•(1 c)a ≤ 这就与前式矛盾，所以假设不成立。 所以(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于 【规律技巧】对于结论中含有“不可能”、“至多”、“至少”等词语的命题，如果直接从条件推证证明方向不明确且分类情况很复杂，这样的证明常采用反证法.。 例2　若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求证：p＋q≤2． 证明：假设p＋q＞2， 则(p＋q)＞8，即p＋q＋3pq (p＋q)＞8， ∵p＋q= 2， ∴pq (p＋q)＞2． 故pq (p＋q)＞2 = p＋q= (p＋q)( p－pq＋q)， 又p＞0，q＞0 p＋q＞0， ∴pq＞p－pq＋q， 即(p－q) ＜0，矛盾． 故假设p＋q＞2不成立， ∴p＋q≤2． 【规律技巧】用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面为“＜”；“≤”的反面为“＞”；“＞”的反面为“≤”；“＜”的反面为“≥”；“≠”的反面为“＝