人教B版高中数学选修2-2 第二章2.2直接证明与间接证明-课件 (2份打包)

2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法与分析法 【提出问题】 那么应用演绎推理有哪些直接的证明方法和间接的证明方法呢？ 我们知道合情推理是一种含有较多猜想成分的推理，它有助于发现新的规律和事实。在数学中，通过合情推理得到的命题的真实性，需要经过证明来确立。 数学证明实际上由一系列的演绎推理所组成的。在实际问题的解决过程中合情推理和演绎推理紧密联系相辅相成。 【获得新知】 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理直接推证结论的真实性。 常用的直接证明方法有综合法与分析法。 综合法是从原因推导到结果的思维方法，而分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法。 【获得新知】 （1）综合法 综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论。 其逻辑关系是 A(已知)⇒B1⇒B2⇒B3⇒…⇒Bn－1⇒Bn⇒B(结论)， 其思路是“执因索果”，即从“已知”推导出已知的“性质”，从而逐步推向“未知”． 【获得新知】 （2）分析法 分析法则是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实。 其逻辑关系为 B(结论)⇐B1⇐B2⇐B3⇐……⇐Bn－1⇐Bn⇐A(已知)， 其证明思路是“执果索因”，即结论寻求条件，逐渐向已知靠拢． 【概念领悟】 ①分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述繁琐，且容易出错．综合法条理清晰，宜于表述，缺点是探路艰难，易生枝节． ②在实际解题时，常把二者交互使用，互补优缺，形成了分析综合法．先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程． ③对于较复杂的问题，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，则原命题得证. 【经典例题】 例1　已知 、 为正数，求证： 、 【规律技巧】在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实，因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略。 【经典例题】 例2　设a>0, b>0，且a + b = 1，求证： 【规律技巧】综合法的证明就是从已知条件出发，进行简单的运算和推理，得到要证明的结论，其中要用到一些已经证明的命题。 【经典例题】 例3 已知数集A＝{a1，a2，…an}(1≤a1<a2<…an，n>2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，aiaj与 两数中至少有一个属于A. (1)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P，并说明理由； (2)证明：a1＝1，且 ＝an； (3)证明：当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列． 【经典例题】 ∴该数集不具有性质P. ∴该数集具有性质P. 【经典例题】 (2)证明：∵A＝{a1，a2，…an}具有性质P， 由于1≤a1<a2<…<an，∴anan>an，故anan∉A. ∵1＝a1<a2<…<an， ∴akan>an，故akan∉A(k＝2,3，…，n)． 【经典例题】 ∵1＝a1<a2<…<a5，∴a3a4>a2a4＝a5， ∴a3a4∉A， 【规律技巧】对于复杂的数学问题，一般采用先用分析法找出解题的思路，然后再用综合法写出证明。在分析问题时要抓住每个已知条件的结构特点。 【总结提炼】 有些具体的待证命题，用综合法或分析法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种。 分析法的特点是，从“未知”看“须知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件。综合法的特点是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件。 $$2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法 【提出问题】 对于一个命题，如果直接证明比较困难，这时我们可以通过间接证明的方法来解决。 那么间接的证明方法有哪些呢？ 【获得新知】 一般地，由证明p⇒q转向证明： ⇒r⇒…⇒t. t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定为假，推出q为真的方法，叫做反证法． 反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，再否定结论的基础上，运用演绎推理导出矛盾，从而肯定结论的真实性。 【概念领悟】 ①反证法证明过程中推出的“矛盾”： （1）与假设矛盾； （2）与公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾； （3）与公认的简单事实矛盾． ②反证法的证明步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）做出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾结果的原因，在于开始做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 【经典