人教B版高中数学选修2-2 第一章1.4.1曲边梯形面积与定积分-教案

1.4 定积分与微积分基本定理 1.4.1曲边梯形面积与定积分 【提出问题】 如上图，函数f(x)=x2与g(x)=2x-0.5交点为A（0.29，0.09），B（1.71，2.91），过点A做x轴的垂线交x轴为点C，过点B做x轴的垂线交x轴为点D。 问题1：直角梯形ACDB的面积是多少？ 根据梯形面积公式易得，直角梯形ACDB的面积是2.13. 曲线y= f(x)与平行于y轴的两条直线x=a，x=b和x轴所围成的图形，称为曲边梯形． 问题2：函数f(x)=x2与x=0.29，x=1.71和x轴所围成的曲边梯形面积怎么求呢？ 提示：既然直角梯形的面积我们可以求，那么曲边梯形能否转化为直角梯形（曲化直）。 我们知道任意多边形都可以分割成一些三角形，通过计算这些三角形面的和就可以得出这个多边形的面积，是否可以使用类似的方法计算由曲线围成的区域的面积（分割）。 下面我们举例来研究这个问题。 【解决问题】 求由抛物线y＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的图形面积． 将区间[0,1] 等分为n个小区间， 0＝x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝1，其中xi＝(i＝0,1,2，…，n)， Δxi＝(i＝1,2,3，…，n)， 在每个小区间[xi－1，xi]上取右端点ξi＝xi(i＝1,2，…，n)． 于是曲线之下小矩形的面积为ξi2(i＝0，1,2，…，n-1) 所以曲线之下小矩形的面积和为 Sn=() 2+() 2+() 2+…+() 2 = = 由此得到 S＝ Sn＝ ＝. 从图形上看，当n越来越大时，划分越来越细，阴影部分的面积与曲边梯形面积相差越来越小，当n趋于正无穷时，阴影部分趋近于曲边三角形，因此可以将视为此曲边三角形的面积。 【获得新知】 类似的问题还很多，它们都可以归结为求这种和式的极限。牛顿等数学家经过艰苦研究，得到了解决这类问题的一般方法：求函数的定积分。 定积分的定义 设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上(如图)．用分点a＝x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝b把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为 Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1. 记λ为这些小区间长度的最大者．当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi，作和式Sn＝ 当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式Sn的极限叫做函数f(x)在区间[