人教B版高中数学选修2-2 第一章1.4.2微积分基本定理-教案

1.4 定积分与微积分基本定理 1.4.2微积分基本定理 【提出问题】 图一 如果总是用定义来求定积分，那将非常麻烦，有时甚至无法计算。因此，我们要寻求其他办法来计算定积分。 设F(x)=x2,f(x)=2x。 我们来计算F(1)-F(0)=12-02=1, 再计算. 根据定积分的几何意义（如图一）知，表示三角形AOB的面积。 所以 这时，我们发现= F(1)-F(0)。 问题1：F(x)=x2,f(x)=2x之间有什么关系？ 实际上，=f(x). 问题2：对于一般函数F(x)与其导函数又存在怎样的关系呢？ 【解决问题】 图三 图二 我们还是从爬山说起，如图二，把地平线取做横坐标轴，y=F(x)是爬山路线，并假定曲线y=F(x)与x轴都在同一平面内。A是出发点，B是山顶。 在爬山路线上，对于每一点（x，F（x）），山坡的斜率为 将区间[a,b]n等分（分割），。我们来分析每一小段所爬高度，与这一小段所在直线的斜率的关系。 不妨以[xk,xk+1]为例(如图三)，EF是曲线过点E的切线，其斜率为，于是 GF=Δx 在此段所爬高度为hk为GH，则 GH=F（xk+1）-F（xk）。 当Δx很小时（即当n很大时）， hk =GH≈GF（曲化直） 即F（xk+1）-F（xk）≈Δx 所以， h1=F（a+Δx）-F（a）≈F’(a)Δx h2=F（a+2Δx）-F（a+Δx）≈F’(a+Δx)Δx h3=F（a+3Δx）-F（a+2Δx）≈F’(a+2Δx)Δx …… hn-1=F[a+(n-1)Δx]- F[a+(n-2)Δx]≈F’[a+(n-2)Δx]Δx hn=F(b)- F[a+(n-1)Δx]≈F’[a+(n-1)Δx]Δx 将上列n个近似等式相加，得到从A到B所爬总高度。 h= h1 +h2 +h3+… +hn-1 +hn=F(b)- F（a）≈ 由定积分定义可知：当Δx→0时， 由此可见， 这一公式告诉我们: F’(x)从a到b的积分等于在两端点的取值之差. 【获得新知】 微积分基本定理： 如果 F′(x)＝f(x)， 且f(x)在[a，b]上可积， 那么＝F(b)－F(a)． 其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．由于[F(x)＋c]′＝f(x)，F(x)＋c也是f(x)的原函数，其中c为常数． 一般地，原函数在[a，b]上的改变量F(b)－F(