人教B版高中数学选修2-2 第一章1.4定积分与微积分基本定理 课件 (2份打包)

1.4 定积分与微积分基本定理 1.4.1曲边梯形面积与定积分 【提出问题】 函数f(x)=x2与g(x)=2x-0.5交点为A（0.29，0.09），B（1.71，2.91），过点A做x轴的垂线交x轴为点C，过点B做x轴的垂线交x轴为点D。 问题1：直角梯形ACDB的面积是多少？ 根据梯形面积公式易得，直角梯形ACDB的面积是2.13. 曲线y= f(x)与平行于y轴的两条直线x=a，x=b和x轴所围成的图形，称为曲边梯形． 问题2：函数f(x)=x2与x=0.29，x=1.71和x轴所围成的曲边梯形面积怎么求呢？ 【提出问题】 提示：既然直角梯形的面积我们可以求，那么曲边梯形能否转化为直角梯形（曲化直）。 下面我们举例来研究这个问题。 我们知道任意多边形都可以分割成一些三角形，通过计算这些三角形面的和就可以得出这个多边形的面积，是否可以使用类似的方法计算由曲线围成的区域的面积（分割）。 【解决问题】 将区间[0,1] 等分为n个小区间， 0＝x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝1，其中xi＝(i＝0,1,2，…，n)， 求由抛物线y＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的图形面积． 于是曲线之下小矩形的面积为ξi2(i＝0，1,2，…，n-1) 在每个小区间[xi－1，xi]上取右端点ξi＝xi(i＝1,2，…，n)． Δxi＝(i＝1,2,3，…，n)， 【解决问题】 由此得到 所以曲线之下小矩形的面积和为 S＝ Sn＝ ＝. Sn=() 2+() 2+() 2+…+() 2 = = 从图形上看，当n越来越大时，划分越来越细，阴影部分的面积与曲边梯形面积相差越来越小，当n趋于正无穷时，阴影部分趋近于曲边三角形，因此可以将视为此曲边三角形的面积。 当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式Sn的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分， 记作 f(x)dx，即 f(x)dx＝ 记λ为这些小区间长度的最大者．当λ趋近于0时，所有的小区间长 度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi，作和式Sn＝ 【获得新知】 设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上(如图)．用分点a＝x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝b把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为 定积分的定义 Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1. 其中f(x)叫做被积函数，a叫做积分下限，b叫积分上限，f(x)dx叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积． 【概念领悟】 1．定积分的几何意义 (1)当f(x)在区间[a，b]上大于0时， f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积． (3)当f(x)在区间[a，b]上有正有负时， f(x)dx表示介于x轴、曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b之间各部分的面积之和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号． (2)当f(x)在区间[a，b]上小于0时， f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数． (2) [f(x)±g(x)]dx＝ f(x)dx± g(x)dx； 【概念领悟】 2．定积分的性质 (1) kf(x)dx＝ kf(x)dx(k为常数)； (3) f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx(a<c<b). 【经典例题】   例1　利用定积分的定义计算由抛物线y＝x2，直线x＝2以及x轴所围成的图形面积． 解：将区间[0,2]n等分， 0＝x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝2，其中xi＝ (i＝0,1,2，…，n)， Δxi＝ (i＝1,2,3，…，n)， 在每个小区间[xi－1，xi]上取右端点ξi＝xi-1(i＝1,2，…，n)． 于是曲线之下小矩形的面积为 (i＝1,2，…，n) 【经典例题】 S＝ Sn＝ ＝. 所以曲线之下小矩形的面积和为 由此得到 【经典例题】 【规律技巧】 求曲边梯形面积的四个步骤： 第一步：分割，在区间[a，b]上插入n－1个分点，将这个区间n等分，即将它分成n个小区间[xi－1，xi](i＝1，2，…，n).区间[xi－1，xi]的长度Δxi＝xi－xi－1； 第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值； 第三步：求和，即求这些小矩形面积的和； 第四步：取极限. 【经典例题】 例2　利用定积分的几何意义求的值。 解：因为被积函数为y＝， 其表示的曲线为以原点为圆心，2为半径